导数在研究函数中的应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（15 分）

已知函数

（1）若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；

（2）若在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；

（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说明理由．

正确答案

(1)1

(2)

(3)

（3）在（1）的条件下，a=1，要使函数的图象恰有三个交点，等价于方程，

即方程恰有三个不同的实根。

=0是一个根，

应使方程有两个非零的不等实根，

由………………12分

存在的图象

恰有三个交点…………………………13分

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).

（1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

正确答案

（1）3x－3y+2=0；（2）1

（1）设切线的斜率为k，

则k==2x2－4x+3=2(x－1)2+1, …………2分

当x=1时，kmin=1.又f(1)=，

所以所求切线的方程为y－=x－1,

即3x－3y+2="0. " ……………………6分

（2）=2x2－4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数，

必须满足＞0，即对任意的

x∈（0，+∞）,恒有＞0，=2x2－4ax+3＞0, ………………8分

∴a＜=+,而+≥，

当且仅当x=时，等号成立.

所以a＜，……………11分

所求满足条件的a值为1 ……………12分

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题型：简答题

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简答题

已知函数在处存在极值.

(1)求实数的值；

(2)函数的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在轴上，求实数的取值范围；

(3)当时，讨论关于的方程的实根个数.

正确答案

(1) .（2）的取值范围是.（3）①当或时，方程有两个实根；②当时，方程有三个实根；③当时，方程有四个实根.

试题分析：（1）求导得，将代入解方程组即得.(2) 由（1）得根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.接下来根据大于等于1和小于1分别求解.(3)由方程

知，显然0一定是方程的根，所以仅就时进行研究，这时方程等价于，构造函数，利用导数作出的图象即可得方程的要的个数.

试题解析：（1）当时，. 1分

因为函数在处存在极值，所以

解得. 4分

(2) 由（I）得

根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.

若，则，

由是直角得，，即，

即.此时无解； 6分

若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 同理有，即，.

因为函数在上的值域是，

所以实数的取值范围是. 8分

（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分

所以仅就时进行研究：方程等价于

构造函数

对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当时取得最大值，其值域是；

对于部分，函数，由，

知函数在上单调递增.

所以，①当或时，方程有两个实根；

②当时，方程有三个实根；

③当时，方程有四个实根. 14分

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题型：填空题

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填空题

已知函数在R上可导，函数，则 .

正确答案

0

试题分析：这是复合函数，求导数时要注意利用复合函数的求导公式，，

，则．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

如图，已知曲线与曲线交于点.直线与曲线分别相交于点.

（Ⅰ）写出四边形的面积与的函数关系；

（Ⅱ）讨论的单调性，并求的最大值.

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得交点O、A的坐标分别是（0，0），

（1，1）. …………（2分）（一个坐标给1分）

f(t)=S△ABD+S△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|=(-3t3+3t)，

即f(t)=-(t3-t)，(0

（Ⅱ）f＇(t)=-t2+.…………（8分）

令f＇(t)="0 " 解得t=.…………（10分）

当0时，f＇(t)>0，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；

当，1）上是减函数.…………（12分）

所以当t=时，f(t)有最大值为f()=.…………（14分）

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数..

（I）当时，求曲线在处的切线方程（）；

（II）求函数的单调区间.

正确答案

解：（I）当时，，， ………………………2分

所以，， ………………………4分

所以曲线在处的切线方程为.………………………5分

（II）函数的定义域为

，…………………………6分

①当时，，在上，在上

所以在上单调递增，在上递减； …………………………8分

②当时，在和上，在上

所以在和上单调递增，在上递减；………………………10分

③当时，在上且仅有，

所以在上单调递增； …………………………12分

④当时，在和上，在上

所以在和上单调递增，在上递减……………………………14分

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数，常数．

（1）当时，解不等式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．

（3）（理做文不做）若在是增函数，求实数的范围

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）当时为偶函数，当时，函数既不是奇函数，也不是偶函数（Ⅲ）

（1），

，原不等式的解为……理4分（文6分）

（2）当时，，对任意，，为偶函数

当时，，取，

得，，

函数既不是奇函数，也不是偶函数 ……理8分（文12分）

（3）解法一：设，

，

要使函数在上为增函数，必须恒成立

，即恒成立

又，

∴a的取值范围是 ……理12分

解法二：f’(x)0在上恒成立，∴a的取值范围是 ……理12分

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题型：简答题

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简答题

(12分)若存在实数和，使得函数与对其定义域上的任意实数分别满足：，则称直线为与的“和谐直线”．已知为自然对数的底数）；

（1）求的极值；

（2）函数是否存在和谐直线？若存在，求出此和谐直线方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）

列表可得在，取得极小值0；无极大值；

（2）由（1）可知函数的图象在处有公共点，因此若存在的和谐直线，则该直线必过这个公共点．

设和谐直线的斜率为，则直线方程，即

由得在时恒成立，

，

下面证明时恒成立．

令，则

列表可得在

从而，即恒成立．

于是，存在唯一的和谐直线：

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数的图像在点处的切线方程为.

（I）求实数，的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

（I），；（Ⅱ）实数的取值范围为．

试题分析：（I）由已知条件，先求函数的导数，利用导数的几何意义，列出方程组：，进而可求得实数，的值；（Ⅱ）当时，恒成立由（I）知，当时，恒成立恒成立，．构造函数，，先求出函数的导数：，再设，求函数导数，可知，从而在区间上单调递减，，由此得，故在区间上单调递减，可求得在区间上的最小值，最后由求得实数的取值范围．

试题解析：（I）.由于直线的斜率为且过点． 2分

，解得，． 6分

（Ⅱ）由（I）知，当时，恒成立等价于恒成立． 8分

记，，则，记，则，在区间上单调递减，，故，在区间上单调递减，， 11分

所以，实数的取值范围为． 13分

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题型：简答题

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简答题

已知在处取得极值。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由。

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在唯一的实数a＝符合题意.

试题分析：（Ⅰ）由已知条件得f¢(x0)=0得到关于x0的关系式，再求出f(x0)；（Ⅱ）将原不等式转化为x2(lnx－a)＋a≥0，考察关于x的函数g(x)＝x2(lnx－a)＋a的单调性，求出最小值g＝a－e2a－1，再研究关于a的函数h(a)＝a－e2a－1，当a取哪些值时h(a)≥0．

试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝．

依题意，lnx0＋x0＋1＝0，则lnx0＝－(x0＋1)．

f(x0)＝＝＝－x0.

（Ⅱ）f(x)≥等价于x2(lnx－a)＋a≥0．

设g(x)＝x2(lnx－a)＋a，则g¢(x)＝x(2lnx－2a＋1)．

令g¢(x)＝0，得x＝．

当x∈时，g¢(x)＜0，g(x)单调递减；

当x∈时，g¢(x)＞0，g(x)单调递增．

所以g(x)≥g＝a－e2a－1．

于是f(x)≥恒成立只需a－e2a－1≥0．

设h(a)＝a－e2a－1，则h＝0，

且h¢(a)＝1－e2a－1，h¢＝0．

当a∈（0，）时，h¢(a)＞0，h(a)单调递增，h(a)＜h＝0；

当a∈（，＋∞）时，h¢(a)＜0，g(x)单调递减，h(a)＜h＝0．

因此，a－e2a－1≤0，当且仅当a＝时取等号．

综上，存在唯一的实数a＝，使得对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥．

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