热门试卷

（1）（2），切点坐标为．

试题分析：解：（1）

在点处的切线的斜率，

切线的方程为；

（2）设切点为，则直线的斜率为，

直线的方程为：．

又直线过点，

，

整理，得， ，

，

的斜率，直线的方程为，切点坐标为．

点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。

对求导得①

（1）当时，若，则，解得

结合①，可知

所以，是极小值点，是极大值点．------------------6分

（2）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知

在R上恒成立，因此，

由此并结合a>0，知．-----------------12分

略

（I）当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，在和上单调递增，在上单调递减（II）即时，原方程有一解.时，原方程有两解.时，原方程有三解.　

（I）依题，　―――――――――――――――（1分）

令，即：.　―――――――――――――――――――（2分）

易知，当时，在上单调递增，　―――――――――――――――（4分）

在和上单调递减.　――――――――――――――――――（6分）

当时，在和上单调递增，　――――――――――――（7分）

在上单调递减.　―――――――――――――――――――――――――－（8分）

（II）由（I）知当时，

极小＝，极大＝　――――――――――――――――（9分）

又当或时，，

可见的图象如下：　――――――――――（10分）

而方程，

转化为　――――――――――――（11分）

可见，当时，即时，原方程有一解.

同理：

时，原方程有两解.

时，原方程有三解.　――――――――－（12分

（1）最大值是，最小值是（2）当单调递减，在单调递增，当单调递减（3）

试题分析：解：（1）当

当

又   

上的最大值是，最小值是。

（2）

当时，令。

单调递减，在单调递增

当恒成立  为减函数

当时，恒成立　单调递减。

综上，当单调递减，在单调递增，当单调递减

（3），依题意：

又　恒成立。即

在上恒成立

令

当时，当时，∴时，     

点评：求较复杂函数的性质，常用到导数。导数对求函数的单调区间、最值、不等式等问题都有很大作用。

（Ⅰ）单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于零解得单调增区间，令导数小于零得单调减区间；（Ⅱ）令导数等于零得，然后对在处断开进行讨论，在上求出函数的最小值，令其大于零解得的范围；（Ⅲ）由于存在，使，则，令，则大于的最小值.

试题解析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，    3分

由得，故的单调递减区间是．    4分

（Ⅱ） 由得．  5分                

①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．       6分

②当时，．当变化时的变化情况如下表：

由此可得，在上，．     8分

依题意，，又，所以．

综合①，②得，实数的取值范围是．     9分

（Ⅲ）由于存在，使，则

令，则                              12分

当时，（仅当时取等号）

在上单调递增，因此．         14分

（Ⅰ）函数的递增区间是(-2,-1),(0,+ ∞),递减区间是(－∞,-2)，(-1,0)

（Ⅱ）

(Ⅲ)

(Ⅰ)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,＋∞)

                          …………………2分

由得，由得.

所以函数的递增区间是(-2,-1),(0,+ ∞),递减区间是(－∞,-2)，(-1,0)…4分

（Ⅱ）令，则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知

，故 ……………………9分

(Ⅲ)方程,即

记，  则.

由得，由得

∴在[0,1]上递减，在[1,2]递增.    …………………………………………11分

为使在[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，于是有 解得.

（I）f(x)=x3－3x（II）证明略（III）实数a的取值范围是－3

（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

即…………………………………………2分

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分

（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

当－1

fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|

|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分

（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为

，

整理得.

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分

设g(x­0)= ，则g′(x0)=6，

由g′(x0)=0，得x0=0或x0­=1.

∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1………………12分

∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3

故所求的实数a的取值范围是－3