导数在研究函数中的应用
共24261题

导数在研究函数中的应用
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题型：简答题

简答题

已知函数＞0）

（1）若的一个极值点，求的值；

（2）求证：当0＜上是增函数；

（3）若对任意的总存在＞成立，求实数m的取值范围。

正确答案

时不可能使恒成立，故必有

若，可知在区间上递减，

在此区间上，有，与恒成立矛盾，

故，这时，，在上递增，

恒有，满足题设要求，，即，

所以，实数的取值范围为.

略

题型：简答题

简答题

已知函数．f（x）在点x=0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5上具有相反的单调性．

（1）求实数的值；

（2）求实数的取值范围

正确答案

解：（1）（2）

略

题型：填空题

填空题

已知为奇函数，则其图象在点处的切线方程为__________。

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为________．

正确答案

∪

试题分析：由导函数几何意义知，当时当时而不等式等价于或，所以等式的解集为∪.

题型：简答题

简答题

已知函数

（1）要使在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；

（2）若时，图象上任意一点处的切线的倾斜角为，试求当时，a的取值范围.

正确答案

（1）（2）

试题分析：（1）

由题设，当时，恒成立，

即恒成立，

恒成立， 6分

（2）当时，

在恒成立，由（1）知，

当

由恒成立，

又

12分

点评：解决的关键是根据导数的符号判定函数单调性，以及函数的最值，属于基础题。

题型：填空题

填空题

设，则

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知函数满足，

（Ⅰ）求、的值及函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若对，不等式恒成立，求的取值范围。

正确答案

(Ⅰ) ，，。(Ⅱ)

：（Ⅰ），由得

∴，故或

故的单调递增区间为，。

（Ⅱ）法1：当变化时，的变化情况如下表

可见，，当时，为极大值，而，则为最大值，故要使不等式在时恒成立，只须，即

即

解得或

∴的取值范围为。

法2：由（Ⅰ）得

即

对，不等式恒成立，即不等式恒成立，

构造函数，只须

∵，令得和

∴，解不等式得或

∴的取值范围为。

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）

已知是定义在上的奇函数，当时

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数，使得当的最小值是4？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设

是奇函数， …（3分）又 …（4分）

故函数的解析式为： …（5分）

（2）假设存在实数，使得当

有最小值是 …（6分）

①当或时，

由于故函数上的增函数。

解得（舍去）…（9分）

②当

解得…（12分）u

综上所知，存在实数，使得当最小值4。…（13分）

略

题型：填空题

填空题

如图所示，水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为：这水波面的圆面积的膨胀率是：

正确答案

10m时，m2 /s．

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）设其导函数的图象经过点，（2，0），如右图所示。

（Ⅰ）求函数的解析式和极值；

（Ⅱ）对都有恒成立，求实数m的取值范围。

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) 0

（1），且的图像经过点

是方程的根………1分

……2分…………1分

由图象可知函数在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增………1分（也可不写文字，列表做，不列表扣1分）

………2分

（2）由（1）可知，对都有恒成立，

即对，恒成立……………………1分

当时，显然成立…1分当时，等价于，

即……2分而当，有，

当且仅当，即x=2取等号故0………1分

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