热门试卷

解：（I），

的变化的情况如下：

所以，

当单调递减且的取值范围是；

当单调递增且

下面讨论的解；

所以，当时，原方程无解；

当时，原方程有唯一解；

当时，原方程有两解 

（II）原不等式可化为：

令 

上单调递减，在上单调递增，

令

略

（1）的减区间为,增区间

（2）导数的几何意义的运用，理解切线的斜率即为该点的导数值既可以得到求证。

（3）

试题分析：解: （1）时,          1 分

                   3分

的减区间为,增区间                 5分

（2）设切点为，

切线的斜率，又切线过原点

           7分

满足方程，由图像可知

有唯一解，切点的横坐标为1；              -8分

或者设,

,且,方程有唯一解         -9分

（3），若函数在区间（0，1］上是减函数，

则，所以---（*） 10分

若，则在递减，

即不等式恒成立                11分

若,

在上递增,

,即,上递增,

这与,矛盾               13分

综上所述,                                    14分

解法二: ，若函数在区间（0，1］上是减函数，

则，所以 10分

显然,不等式成立

当时,恒成立            11分

设

设

在上递增, 所以         12分

在上递减,

所以             14分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于中档题。

(1) 函数 ,(2) 直线经过定点

(1)因为

而切线的斜率为，所以，

又图象经过点，所以，那么，

所以函数

(2)设点，切点坐标为，，

那么切线的斜率为，

所以切线方程为，整理得到：，

此切线经过点，则，

再分别设两切点坐标为，

那么，

又直线的斜率，

所以直线的方程为

整理得到：，而，

所以直线的方程为，

所以直线经过定点

(1)∵f′(x)＝x＋，

当x∈[1，e]时，f′(x)>0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，

∴f(x)max＝f(e)＝e2，f(x)min＝f(1)＝－.

(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－1－x3

则F′(x)＝x＋－2x2＝

＝.

∵当x>1时F′(x)<0，∴函数F(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，∴F(x)

即在(1，＋∞)上，f(x)

∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．

(3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋，

当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时，

∵[f′(x)]n－f′(xn)＝n－

＝Cxn－2＋Cxn－3＋…＋C，①

[f′(x)]n－f′(xn)＝C＋C＋…＋Cxn－2，②

①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝

≥C＋C＋…＋C＝2n－2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．

∴当n≥2时，不等式成立．

综上所述得[f′(x)]n－f′(xn)≥2n－2(n∈N＋)． 

略

略

：（1）a≤0 f(x)=x(x2-a)=x3-ax∴f′(x)=3x2-a≥0，f(x)在（-∞，+∞）上为增函数……4分

（2）a=3时f(x)=

①若0时，f(x)=3x-x3由f′(x)=3-3x2="0" 得x=1

(Ⅰ)若0max=f(b)=3b-b3

(Ⅱ)若1时，00; 1max=f(1)=2…8分

②若b>由①知f(x)在[0, ]上最大值为2，下面求f(x)在（,b]上的最大值

∵f′(x)=3x2-3>0  ∴f(x)max=f(b)=b3-3b又b3-3b-2=(b+1)2(b-2)

∴f(x)max=…11分综合①已知f(x)max=…12分

解：（1）当时，. ……（1分）

求导得. ……（2分）

令，解得：或．……（3分）

列表如下：                                                      ……（6分）

所以，在闭区间上的最大值是，最小值是0．……（7分）

（2）. ……（8分）

联立方程组 ……（9分）

得   ……（10分）

设，则方程在区间内只有一根,

相当于，即 ……（12分）

解得或. ……（14分）

略

设，则当时，，

∴函数在点处连续．

从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明．由于函数在点处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一

(Ⅰ)   (Ⅱ)