热门试卷

解：⑴令，得，

区间分别单调增，单调减，单调增，…………2分

于是当时，有极大值极小值，…………4分

⑵由（1）知区间分别单调增，单调减，单调增，

所以当时，特别当时，有；6分

当时，，则，………8分

所以对任意的，……9分

⑶由已知得在上恒成立，

得时，，单调减；

时，，单调增；故时，函数取到最小值，从而；…11分

同样的，在上恒成立，由

得时，，时，，故时，函数取到最小值.

从而，………13分

由的唯一性知，.……14分

略

（1） （2）

：(12分)（1）

………….6分

（2）设

即

 ….12分

(Ⅰ) ；

（Ⅱ） 。

试题分析：(Ⅰ) 由得

               （2分）

函数在处的切线方程为，

所以 ，解得                   （5分）

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，

所以，，而   （6分）

由（Ⅰ）知

令得或                         （8分）

（1）当即时，恒成立，所以在上递增，成立                        （9分）

（2）当即时，由解得或

①当即时，在上递增，在上递减，

所以，解得；

②当即时，在上递增，在上递减，

在上递增，

故，

解得；                              （12分）

（3）当即时，由解得或

①当即时，在上递减，在上递增，舍去；

②当即时，在上递增，在上 递减， 在上递增，

所以，解得 （14分）

所以实数的取值范围为 （15分）

点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。

（1），极小值为无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

试题分析：

解题思路：（1）利用导数的几何意义求，再进一步求极值；（2）构造函数，即证；

（3）结合（2）的结论，对进行分类讨论.

规律总结：这是一道典型的导函数问题，综合性较强，要求我们要有牢固的基础知识（包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等）.

试题解析：解法一：（1）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.

（2）令,则.由（1）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.

（3）①若,则.又由（2）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

解法二：（1）同解法一

（2）同解法一

（3）对任意给定的正数c，取

由（2）知，当x>0时，，所以

当时，

因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

(1) (-1,1)    (2) 当x=-3时, 最小值为-18。当x=-1或2时, 最大值为2

(1)∵f(x)=x3-3x,

∴f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).

令f'(x)=0,得x=-1或x=1.

若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f'(x)>0,

故f(x)的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞),

若x∈(-1,1),则f'(x)<0,故f(x)的单调减区间为(-1,1).

(2)∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,

∴当x=-3时,f(x)在区间[-3,2]取到最小值为-18.

∴当x=-1或2时,f(x)在区间[-3,2]取到最大值为2.

解：

（Ⅰ）在处取得极小值.      

（Ⅱ）当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.…………………

解：（Ⅰ）函数，则，…………………1分

令，得（舍去），.   …………………………………………2分

当时，，函数单调递减；…………………………………………3分

当时，，函数单调递增；…………………………………………4分

∴在处取得极小值.       ……………………………………5分

（Ⅱ）由于，则，从而，则

  …………………………………………6分

令，得，.   ………………………………………7分

① 当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；8分

② 当，即时，列表如下：

所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；…………10分

当，即时，函数的单调递增区间为；……………11分

③ 当，即时，列表如下：

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；  ……………13分

综上：当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.…………………………14分

当时，等腰三角形的面积最大．

如图，设圆内接等腰三角形的底边长为，高为，那么                                                    

，                        

解得，于是内接三角形的面积为：

，

从而

，

令，解得，由于不考虑不存在的情况，所在区间上列表示如下：

由此表可知，当时，等腰三角形的面积最大．