热门试卷

（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，f′（x）=2x-3+．         

因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程为 y=-2．                                     

（2）函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．

当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+=（x＞0），

令f′（x）=0，即f′（x）===0，

所以x=或x=．          

①a＞2时，令f′（x）＞0，可得x＞或0＜x＜；令f′（x）＜0，可得＜x＜；

②a=2时，f′（x）≥0恒成立；

③0＜a＜2时，令f′（x）＞0，可得x＞或0＜x＜；令f′（x）＜0，可得＜x＜；

④a≤0时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜；令f′（x）＜0，可得x＞；

∴a＞2时，函数的单调增区间是（0，），（0，）；单调减区间为（，）；a=2时，f（x）在（0，+∞上单调递增；0＜a＜2时，函数的单调增区间是（，+∞），（0，）；单调减区间是（，）；a≤0时，函数的单调增区间是（0，）；单调减区间是（，+∞）．

（1）证明：∵f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1∴f'（x）=3an-1x2-3[（t+1）an-an+1]，

根据已知f′()=0，即tan-1-（t+1）an+an+1=0，即an+1-an=t（an-an-1），当t≠1时，数列an+1-an是等比数列．（6分）

（2）由于a2-a1=t2-t=t（t-1），所以an+1-an=（t-1）tn．

所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1=（t-1）tn-1+（t-1）tn-1++（t-1）t+t=(t-1)×+t=tn．

所以数列an的通项公式an=tn．（12分）

由题意x＞0，f′（x）=-

（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得，解得x＞，

即函数f（x）的单调增区间是(，+∞)；

由f′（x）＜0得-＜0，解得x＜，

即函数f（x）的单调减区间是(0，)

∴当x=时，函数f（x）有极小值，

极小值为f（）=aln+a=a-alna

（2）当a＞0时，∵对任意x＞0，

均有ax（2-lnx）≤1，即有对任意x＞0，2a≤alnx+恒成立，

∴对任意x＞0，只须2a≤f（x）min

由（1）可知，函f（x）的极小值，即为最小值，

∴2a≤f（x）min=a-alna，，解得0＜a≤

即a的取值范围为0＜a≤

（3）f() -=aln-

∵x1＞0，x2＞0且x1≠x2，a＜0，

∴x1+x2＞2，∴＞1，aln＜0

又＜0，

∴aln+＜0，

∴f（）-＜0，即f（）＜．

解：(Ⅰ)因，

所以，

即当时，f′（x）取得最小值，

因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，

所以，解得a=±3，

由题设a＜0，所以a=-3。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，，

，

令f′（x）=0，解得，

当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；

当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，-1）上为减函数；

当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数，

由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3）。

解：（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f'（x）=ex-1

当x∈（-∞，0）时，f'（x）<0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）>0

故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加；

（2）f '（x）=ex-1-2ax

由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立

故f'（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即时，f'（x）≥0（x≥0），而f（0）= 0，

于是当x≥0时，f（x）≥0

由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）

从而当a>时，f'（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）<0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0

综合得a的取值范围为。

（I）当时，在上是增函数

（II）取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

（III）

证明：由题设得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0.

由此可知，为R上的增函数.

(Ⅱ)证法一：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t

＜0，即t＞

在闭区间[a,b]上成立即可.

因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时,＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

证法二：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时

＜0，

在闭区间[a,b]上成立即可.

令则＜0()当且仅当

＜0().

而上式成立只需

即

成立.取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

(Ⅲ)证法一：设

易得

≥.

令则易知当x＞0时, ＞0;当x＜0, ＜0.故当x=0时，取最小值，所以

≥，

于是对任意x、t，有≥，即≥.

证法二：设=

≥，当且仅当

≥0

只需证明

≤0，即

≥1

以下同证法一.

证法三：设=，则

易得当t＞时, ＞0; t＜时, ＜0，故当t=取最小值即

≥

以下同证法一.

证法四:

设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则

≥

以下同证法一.

（1）f（x）=x3+ax2+x+1求导：f'（x）=3x2+2ax+1

当a2≤3时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增

当a2＞3，f'（x）=0求得两根为x=

即f（x）在(-∞，)递增，(，)递减，(，+∞)递增

（2）f'（x）=3x2+2ax+1≤0在(-，-)恒成立．

即2a≥在(-，-)恒成立．

可知在(-，-)上为减函数，在(-，-)上为增函数．＜4．

所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．

（1）的极小值为，无极大值（2）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，单调递减区间是

试题分析：（1）当时,,求导，令，同时讨论的单调性即可.

（2）当时，，，故二次不等式的二次项系数为负，故不等式的解集取决于两个根

的大小，分类讨论即可得到的单调区间.

（1）函数的定义域为

当时，       

令，得

当时，；当时，

故在上单调递减，在上单调递增

故的极小值为，无极大值.

（2）………6分

①当即时，，故函数在上是减函数；

②当即时,

令，得；令，得；

③当即时,

令，得；令，得；

综上所述，

当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；

当时，单调递减区间是；

时，的单调递增区间是，单调递减区间是

（1）①，②；（2）

试题分析：（1）①根据在处取得极值，求导将带入到导函数中，联立方程组求出的值；②存在性恒成立问题，，只需，进入通过求导求出的极值，最值.（2）当的未知时，要根据中分子是二次函数形式按进行讨论.

试题解析：（1）定义域为.

①,

因为在处取和极值，故,

即，解得.

②由题意：存在，使得不等式成立，则只需

由，令则，令则或，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减

所以在处取得极小值，

而最大值需要比较的大小,

,

,

比较与4的大小，而，所以

所以

所以.

（2）当 时，

①当时，则在上单调递增；

②当时，∵ ，则在上单调递增；

③当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；

综上可得，.