热门试卷

（I）求导函数可得f′（x）=6x（x-1）------------------------（2分）

由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；

故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）．-----------（6分）

（II） ①当a=0时，f(x)=1，g(x)=，显然不可能满足题意；------------（7分）

②当a＜0时，f'（x）=6ax2-6ax=6ax（x-1）．

------------------------------（9分）

又因为当a＜0时，g（x）=-x+在[0，2]上是增函数，

∴对任意x∈[0，2]，g(x)∈[，-+]，-------------------------------（11分）

由题意可得-+＜1-a，解得a＜-1．

综上，a的取值范围为（-∞，-1）．---------（13分）

∵函数 f(x)=（x＞0），

∴f′（x）=

∵a＞0，所以判断1-lnx的符号，

当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，

当x＞e时，f′（x）＜0，为减函数函数，

∴x=e为f（x）的极大值，

∴f（x）在（0，e）上单调递增．（e，+∞）为减函数函数．

（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0}

f'（x）=x-a-1+（x＞0）

根据题意可得，f'（2）=2-a-1+=，

∴a=-1．

（II）∵f'（x）=x-a-1+=（x＞0）

①当a＞1时，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；

由f′（x）＜0可得0＜x＜2a

∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减

②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；

③当a=1时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．

∴当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；

当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；

当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

（III）当a=2时，f（x）=x2-3x+2lnx，

由（II）问知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减；

∴f（x）的极大值为f（1）=-，f（x）的极小值为f（2）=2ln2-4，

当m∈（2ln2-4，-），函数方程f（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，

因此实数m的取值范围是（2ln2-4，-）．

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f′（x）=-ax+b=0，

∴b=a-1，∴f′（x）=-ax+a-1=-，

当f′（x）＞0时，得-＞0，

∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，

当f′（x）＜0时，得-＜0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，

；∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

（2）因A、B在f(x)=lnx-ax2+bx(a＞0)的图象上，

∴y1=lnx1-ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-ax22+(a-1)x2，

∴K==-a(x2+x2)+a-1，

∵x0=，f′(x)=-ax+a-1，

∴f′(x0)=-a•+a-1，

假设k=f′（x0），则得：-a(x2+x2)+a-1=-a•+a-1，

即=，

即ln=，令t=，u(t)=lnt-(0＜t＜1)，

∵u′(t)=＞0，

∴u（t）在（0，1）上是增函数，∴u（t）＜u（1）=0，

∴lnt-＜0，所以假设k=f′（x0）不成立，

故f′（x0）≠k．

（Ⅰ）f'（x）=6x2-2ax+6b，

⇒⇒，经检验满足题意      

∴f（x）=2x3-3x2-12x．      

（Ⅱ）∵f'（x）=6x2-6x-12，令 6x2-6x-12＜0，

令6x2-6x-12＞0，x2-x-2＜0，

x2-x-2＞0，（x+1）（x-2）＜0，

（x+1）（x-2）＞0，（x+1）（x-2）＜0，

∴x＜-1或x＞2．   （1分）∴-1＜x＜2      

∴f （x）在（-∞，-1）和（2，+∞）内为增函数，

f （x）在（-1，2）内为减函数．

（Ⅲ）∵f'（x）=6x2-6x-12

∴f'（1）=-12（1分）∵f（1）=-13  

∴切线方程为y+13=-12（x-1），即y=-12x-1

（1）当a=-3时，f（x）=x3+4x2-3x，f'（x）=3x2+8x-3，

令f'（x）=0得：x1=-3、x2=

所以f（x）在(-3，)单调递减．在(-∞，-3)，(，+∞)单调递增   

所以f（x）极大=f（-3）=18，f（x）极小=f()=-，

（2）在[0，2]上g(x)=x-是增函数，故对于x2∈[0，2]，g(x2)∈[-，6]．

设h(x1)=f′(x1)+2ax1=3+2x1-a(a+2)，x1∈[-1，1]．h'（x1）=6x1+2，

由h'（x1）=0，得x1=-．

要使对于任意的x1∈[-1，1]，存在x2∈[0，2]使得h（x1）=g（x2）成立，只需在[-1，1]上，

-≤h(x1)≤6，

在（-1，-）上h′（x1）＜0，在（-，1）上h′（x1）＞0，

∴x1=-时，h（x1）有极小值h(-)=--a2-2a，

∵h（-1）=1-a2-2a，h（1）=5-a2-2a，

∵在[-1，1]上，h（x1）只有一个极小值，

故h（x1）的最小值为--a2-2a，

，

解得-2≤a≤0．

（1）∵f（x）=lnx+-（a为常数，a＞0）．

∴f′（x）=　（x＞0）．

由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，

即a≥在[1，+∞）上恒成立，

又∵当x∈[1，+∞）时，≤1，

∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．

（2）当a≥1时，∵f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上为增函数，

∴f（x）min=f（1）=0，

当0＜a≤时，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，

∴f（x）min=f（2）=ln2-．

当＜a＜1时，∵x∈[1，）时，f′（x）＜0；

x∈（，2]时，f′（x）＞0，

∴f（x）min=-lna+1-．

综上，f（x）在[1，2]上的最小值为 ①当0＜a≤时，f（x）min=ln2-；②当＜a＜1时，f（x）min=-lna+1-．③当a≥1时，f（x）min=0．

（1）f'（x）=3x2+2ax+1由f'（1）=0得a=-2

∴f（x）=x3-2x2+x+1

当x=-1时，y=-3即切点（-1，-3）

k=f'（x0）=3x02-4x0+1令x0=-1得k=8

∴切线方程为8x-y+5=0

（2f（x）在区间(，1)内不单调即f′（x）=0在(，1)有解

∴3x2+2ax+1=0在(，1)有解

∴2a=-3x-

令h（x）=-3x-

∴h′(x)=-3+＜0

知h（x）在(，1)单调递减，在(，)单调递增

∴h(1)＜h(x)≤h()

即h（x）∈[-4，-2]

∴-4＜2a≤-2

即-2＜a≤-

而当a=-时，f′(x)=3x2-2x+1=(x-1)2≥0

∴舍去

综上a∈(-2，-)

（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=．（2分）

∵当x∈(0，)时，f'（x）＜0；当x∈(，+∞)时，f'（x）＞0，（3分）

∴当x=时，f(x)min=ln=-．（4分）

（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），F′(x)=2ax+=(x＞0)．（5分）

①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；（6分）

②当a＜0时，

令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得0＜x＜；（7分）

令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得x＞．（8分）

综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

当a＜0时，F（x）在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减．（9分）

（3）证：k==．

要证x1＜＜x2，即证x1＜＜x2，等价于证1＜＜，令t=，

则只要证1＜＜t，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）．

①设g（t）=t-1-lnt（t≥1），则g′(t)=1-≥0(t≥1)，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，

∴当t＞1时，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t＞1）．

②设h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，

∴当t＞1时，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．

由①②知（*）成立，得证．（14分）