热门试卷

（1）函数定义域为（0，+∞），f′(x)=

因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a2=0，解得a=-或a=1，

因为a＞0，所以a=1；

（2）若a=0，f′(x)=＞0，

∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

若a≠0，则a＞0，f′(x)==

由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞；

∴函数的单调增区间为（0，）；单调减区间为（，+∞）．

（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f(x)=lnx+x+-1，f′(x)=，

由f'（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增．

由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞），单调递减区间为（0，1]．

（2）因为f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）．

所以f′(x)=-a+=-，

令g（x）=ax2-x+1-a，（x＞0），

①若a=0，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．

②若0＜a＜时，由f'（x）=0，解得x1=1，x2=-1，

此时-1＞1＞0，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

当x∈（1，-1）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．

当x∈（-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

综上所述，当a=0时，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．

当0＜a＜时，函数f（x）单调递减区间是（0，1）和[-1，+∞），单调增区间是[1，-1]．

（1）a＝（2）极小值2＋6ln 3. 极大值f(2)＝＋6ln 2，f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；

当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．

(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，

故f′(x)＝2a(x－5)＋.

令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

y－16a＝(6－8a)(x－1)，

由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.

(2)由(1)知，f(x)＝ (x－5)2＋6ln x(x>0)，

f′(x)＝x－5＋＝.

令f′(x)＝0，解得x＝2或3.

当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；

当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．

由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.

(I) 增区间 ，减区间：； (II)  ．

试题分析：(I) 先表示出 的解析式，应用导数求解担单调区间；(II)转化为使在上的最大值大于等于e即可．

试题解析：

(I) 因为，其中                         2分

当，，其中

当时，，，

所以，所以在上递增，                       4分

当时，，，

令， 解得，所以在上递增

令， 解得，所以在上递减      7分

综上，的单调递增区间为，

的单调递减区间为                                                       

（II）因为，其中

当，时，

因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于

，令，得                           8分

当时，即时

对成立，单调递增

所以当时，取得最大值  

令 ，解得   ，

所以                                                           10分  

当时，即时

对成立，单调递增

对成立，单调递减

所以当时，取得最大值          

令  ，解得

所以                                            12分

综上所述，                                                13分

（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f(x)=lnx+x+-1，f′(x)=，

由f'（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增．

由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞），单调递减区间为（0，1]．

（2）因为f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）．

所以f′(x)=-a+=-，

令g（x）=ax2-x+1-a，（x＞0），

①若a=0，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．

②若0＜a＜时，由f'（x）=0，解得x1=1，x2=-1，

此时-1＞1＞0，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

当x∈（1，-1）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．

当x∈（-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

综上所述，当a=0时，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．

当0＜a＜时，函数f（x）单调递减区间是（0，1）和[-1，+∞），单调增区间是[1，-1]．

(1)单调减区间为，单调增区间为，(2)详见解析.

试题分析：(1)求函数单调区间，有四个步骤.一是求定义域，二是求导数为零的根，由得，三是分区间讨论导数正负，当时，当时，四是根据导数正负写出单调区间：单调减区间为，单调增区间为，.(2)证明不等式恒成立问题一般化为函数最值问题.可以直接求函数的最小值，也可将与分离，求函数的最小值.两种思路都简洁，实质都一样，就是求最小值.

试题解析：解：

(1)定义域为                  1分

                  2分

令，得                  3分

与的情况如下：

                5分

所以的单调减区间为，单调增区间为             6分

(2)证明1：

设，                  7分

               8分

与的情况如下：

所以，即

在时恒成立，           10分

所以，当时，，

所以，即，

所以，当时，有.            13分

证明2：

令                 7分

                 8分

令，得                 9分

与的情况如下：

          10分

的最小值为         -11分

当时，，所以

故              -12分

即当时，.                  13分

（1）极大值；（2）当时，的增区间为，

当时，的增区间为，减区间为．

试题分析：（1）函数求极值分三步：①对函数求导；②令导函数为零求根，判断根是否为极值点；③求出极值；（2）先求导函数，然后利用导数求单调性，在其中要注意对a的分类讨论．

试题解析：（1）当时，，定义域为，

则.                              2分

令 ，列表：                                       4分

当时，取得极大值.                               7分

（2），∴．          9分

若，，在上递增；                       11分

若，当时，，单调递增；

当时，，单调递减．                       14分

∴当时，的增区间为，

当时，的增区间为，减区间为．             16分

解：（Ⅰ）(i)因为，所以，·············· 1分

则， 而恒成立，

所以函数的单调递增区间为．·············· 4分

（ii）不等式在区间上有解，

即 不等式在区间上有解，

即 不等式在区间上有解，

等价于在区间上的最小值，············· 6分

因为时，，

所以的取值范围是．···················· 9分

（Ⅱ）因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称． 10分

对猜想证明如下：

因为

所以

所以，，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，

所以，，························ 12分

从而，

所以．

又由上

所以点关于点（对称.

故直线与平行时，点与点关于点对称．·········· 14分

略