热门试卷

1，

在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

解：（Ⅰ）当

所以曲线处的切线斜率为1. 

（Ⅱ），令，得到

因为

当x变化时，的变化情况如下表：

在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

（Ⅲ）由题设，

所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得

因为

若，而，不合题意

若则对任意的有

则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是

,解得  

（1）f'（x）=3x2+2ax+b

由题设得f'（x）=0的根为x=-或x=1

由此求得a=b=-1

故f（x）=x3-x2-x+3

（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t

令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3

g（x）极大值=g（-1）=8-t，g（x）极小值=g（3）=-24-t

∴当8-t＜0，即t＞8时，原方程有一个实数根；

当8-t=0，即t=8时，原方程有两个实数根；

当即-24＜t＜8时，原方程有三个实数根；

当-24-t=0，即t=-24时，原方程有两个实数根；

当-24-t＞0，即t＜-24时，原方程有一个实数根．

综上，当t=-24或t=8时，原方程有两个实数根；

当t＜-24或t＞8时，原方程有两个实数根；

当-24＜t＜8时，原方程有三个实数根．

（1）当a=1时，g（x）=x3+2x2-2x，g′（x）=x2+4x-2 …（1分）

由g′（x）＜0解得-2-＜x＜-2+        …（2分）

∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （-2-，2+）；…（3分）

（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x-2

依题意知  f()-=a（）2+4×-2-

=-（x1-x2）2＜0 …（5分）

因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）

（3）易知f（x）=ax2+4x-2=a（x+）2-2-，a＞0．

显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-＜0    …（7分）

①当-2-＜-4即0＜a＜2时，M∈（-，0）且f（M）=-4

令ax2+4x-2=-4解得  x=        …（8分）

此时M取较大的根，即M==…（9分）

∵0＜a＜2，∴M==＞-1     …（10分）

②当-2-≥-4即a≥2时，M＜-且f（M）=4

令ax2+4x-2=4解得 x=            …（11分）

此时M取较小的根，即 M==…（12分）

∵a≥2，∴M==≥-3当且仅当a=2时取等号  …（13分）

由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3  …（14分）

（I）f（x）=f1（x）•f2（x）=x2alnx，

∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），

由f′（x）＞0，得x＞e 12，由f′（x）＜0，得0＜x＜e 12．

∴函数f（x）在（0，e 12）上是增函数，在（e 12，+∞）上是减函数，

∴f（x）的极小值为f（e 12）=-，无极大值．

（II）根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，

设g（x）=x2+alnx-（a+1）x，则g（x）min≤0即可，

又g′（x）=x+-（a+1）=，

①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函数，

∴g（x）min=g（1）=-（a+1）≤0，得-≤a≤1．

②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是减函数，

由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函数，

∴g（x）min=g（a）=-a2+alna-a=-a2-a（1-lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．

③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是减函数，

∴g（x）min=g（e）=）=-e2+a-ae-e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．

综上，实数a的取值范围a≥．

（III）问题等价于x2lnx＞-，

由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为-，

设h（x）=-，h′（x）=-得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，

∴h（x）max=h（2）=-，

因--(-)==＞0，

∴f（x）min＞h（x）max，

∴x2lnx＞-，∴lnx-（-）＞0，

∴lnx+-＞0．

首先确定定义域：{x|x≠0}，∴在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论．任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=x2+-x1-=（x2-x1）+=（x2-x1）（1-），

要确定此式的正负只要确定1-的正负即可．

（1）当x1、x2∈（0，1）时，1-＜0，∴f（x2）-f（x1）＜0，为减函数，

（2）当x1、x2∈（1，+∞）时，1-＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，为增函数．

同理可求（3）当x1、x2∈（-1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2∈（-∞，-1）时，为增函数．

（1）∵f(x)=x2-alnx(a∈R)．

∴f′(x)=x -

又∵f（x）在x=2时取得极值，

∴f′(2)=2 -=0，解得a=4

（2）∵f′(x)=x -，（x＞0）

当a＜0时，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）为增函数，

故当a＜0时，（0，+∞）为函数的单调递增区间；

当a=0，f（x）=x2，当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）为增函数，

故当a=0时，[0，+∞）为函数的单调递增区间；

当a＞0时，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，

当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

故当a＜0时，（0，）为函数的单调递减区间，（，+∞）为函数的单调递增区间；

（3）令g（x）=x3-x2-lnx，

则g′（x）=2x2-x-==

∵当x＞1时，g′（x）＞0

故在（1，+∞）上，g（x）=x3-x2-lnx为增函数

即当x＞1时，g（x）＞g（1）=＞0

故当x＞1时，x2+lnx＜x3．

∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2

∴f'（x）=3x2+2ax+b，

又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，

∴解得：或

当a=4，b=-11时，f′(x)=3(x+)(x-1)，f（x）在(-∞，-)↑，在(-，1)↓，在（1，+∞）↑

∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；

当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值．

∴a=4，b=-11；且f（1）=10是极小值．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+=．

当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．

当a＜0时，由f'（x）＞0，解得0＜x＜-，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＞-此时函数递减．此时函数在x=-处取得极小值．无极大值．

综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．

当a＜0时，函数在x=-处取得极小值．无极大值．

（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立

由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；

当a＜0时，f(x1)max⁡=f(-)=-1+ln⁡(-)=-1-ln⁡(-a)

又g（x2）=x22-2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max⁡=g（0）=2．

所以，解得a＜-e-3．

所以，实数a的取值范围是（-∞，-e-3）．

（1）∵函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点，

∴f'（x）=x3+3x2-9x+c=0有三个不等的实根，

设g（x）=x3+3x2-9x+c，则g'（x）=3x2+6x-9=3（x+3）（x-1）…（3分）

列表如下：

∴解得-27＜c＜5…（8分）

（2）当c=5时，由f'（x）=x3+3x2-9x+5=0，即f'（x）=（x-1）2（x+5）=0可知f（x）在（-∞，-5]上单调递减，

所以a+2≤-5，即a≤-7…（12分）