热门试卷

（1）∵f(x)=-(a＞0)∴f'（x）=，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增∴函数f（x）在[，2]是单调递增，

当x=时，f（）=-2=∴a=

（1）∵f（x）=（1-2x）3=ax3+bx2+cx+d，

对此等式两边同时求导数得：3（1-2x）2（-2）=3ax2+2bx+c，

令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二项式定理知d=1

故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分）

（2）∵f′（x）=x2+2bx+c，由题意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1

经检验，f（x）在x=0处取得极大值．∴f(x)=x3+bx-1…（8分）

设切点为（x0，y0），则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)

即为y=(+2bx0)x--b-1…（9分）

因为切线方程为y=(+2bx0)x--b-1，

把（0，0）代入可得+b+1=0，

因为有三条切线，故方程+b+1=0有三个不同的实根．…（11分）

设g(x)=x3+bx2+1(b＜0)

∵g′（x）=2x2+2bx，令g′（x）=2x2+2bx=0，可得x=0和x=-b

因为方程有三个根，故极小值小于零，b3+1＜0，所以b＜-…（14分）

（1）f′（x）=（ax+a-2）ex，

由已知得f′（1）=0，解得a=1．

当a=1时，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）ex，在x=1处取得极小值．

∴a=1．

（2）由（1）知，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）ex，

当x∈[0，1）时，f'（x）=（x-1）ex＜0，f（x）在区间[0，1）单调递减；

当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，f（x）在区间（1，2]单调递增．

所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=-e．

又f（0）=-2，f（2）=0，

所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．

（1）f′（x）=3ax2+6x-6a，

因为f′（-1）=0所以a=-2.2；

（2）因为直线m恒过点（0，9）．

先求直线m是y=f（x）的切线．

设切点为（x0，3x02+6x0+12），

∵g′（x0）=6x0+6．

∴切线方程为y-（3x02+6x0+12）=（6x0+6）（x-x0），

将点（0，9）代入得x0=±1．

当x0=-1时，切线方程为y=9，

当x0=1时，切线方程为y=12x+9．

由f′（x）=0得-6x2+6x+12=0，即有x=-1，x=2

当x=-1时，y=f（x）的切线y=-18，当x=2时，

y=f（x）的切线方程为y=9∴y=9是公切线，

又由f′（x）=12得-6x2+6x+12=12

∴x=0或x=1，当x=0时y=f（x）的切线为y=12x-11，

当x=1时y=f（x）的切线为y=12x-10，

∴y=12x+9，不是公切线，

综上所述k=0时y=9是两曲线的公切线；（7分）

（3）．（1）kx+9≤g（x）得kx≤3x2+6x+3，

当x=0，不等式恒成立，k∈R．

当-2≤x＜0时，不等式为k≥3(x+)+6，

而3(x+)+6=-3[(-x)+]+6≤-3•2+6=0∴k≥0

当x＞0时，不等式为k≤3(x+)+6，

∵3(x+)+6≥12∴k≤12∴当x≥-2时，

kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12；（10分）

（2）由f（x）≤kx+9得kx+9≥-2x3+3x2+12x-11

当x=0时，9≥-11恒成立，k∈R，

当-2≤x＜0时有k≤-2x2+3x+12-

设h(x)=-2x2+3x+12-=-2(x-)2+-，

当-2≤x＜0时-2(x-)2+为增函数，

-也为增函数∴h（x）≥h（-2）=8

∴要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，则k≤8（12分）

由上述过程只要考虑0≤k≤8，

则当x＞0时f′（x）=-6x2+16x+12=-6（x+1）（x-2）

∴在x∈（0，2]时f′（x）＞0，在（2，+∞）时

∴f（x）在x=2时有极大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，

又f（2）=9，即f（x）≤9而当x＞0，k≥0时，

∴f（x）≤kx+9一定成立，综上所述0≤k≤8．

求导函数，可得f′(x)=．

令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．

（Ⅰ）当a＞0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

函数f（x）的单调递增区间是（-3a，a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-3a），（a，+∞）．

当a＜0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

函数f（x）的单调递增区间是（a，-3a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，a），（-3a，+∞）．

（Ⅱ）当a=1时，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．

又当x＞1时，f(x)=＞0．

所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值为f(-3)=-，最大值为f(1)=．

所以对任意x1，x2∈[-3，+∞），f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=．

所以对任意x1，x2∈[-3，+∞），使f（x1）-f（x2）≤m恒成立的实数m的最小值为．

（1）a=1时，f（x）=x+lnx

∴f'（x）=1+，可得f'（）=3

∴曲线y=f(x)在x=处切线的斜率k=f'（）=3

（2）由题意，得f'（x）=a+，（x＞0）

∴当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；

当a＜0时，f'（x）=a+在（0，-）上为正数，在（-，+∞）上为负数

由此可得：当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；

当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-）上为增函数，在（-，+∞）上为减函数

（3）由题意，得f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于g（x2）在[0，1]上的最大值．

∵g（x）=2x，[0，1]上是增函数

∴g（x2）在[0，1]上的最大值为g（1）=2

即f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于2

当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数，f（x1）没有最大值；

当a＜0时，f（x1）在（0，+∞）上的最大值为f（-）=-1+ln（-）＜2

解之得a＜-，可得实数a的取值范围为（-∞，-）．

（1）由已知f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1=ax3+3bx2-（a+3b）x+1，

∴f'（x）=3ax2+6bx-（a+3b）

∴解得

∴f（x）=6x3-12x2+6x+1．

（2）∵f'（x）=18x2-24x+6=6（3x-1）（x-1）

由f'（x）＞0得，x＞1或x＜，即f（x）在（1，+∞）和（-∞，）上单调递增，

由f'（x）＜0得，＜x＜1，即f（x）在（，1）上单调递减．

（3）方程f(x)=6x-等价于18x3-36x2+19=0．

令g（x）=18x3-36x2+19．

则g'（x）=54x2-72x=18x（3x-4）令g'（x）=0得x=0或x=．

当x∈（0，）时，g'（x）＜0，g（x）是单调递减函数；

当x∈（，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是单调递增函数；

∵g（1）=1＞0，g（）=-＜0，g（2）=19＞0，

∴方程g（x）=0在区间（1，），（，2）内分别有唯一实根．

∴存在正整数m=1使得方程f(x)=6x-在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数跟．

由于函数f（x）=alnx+（x-1）2，（a∈R）．

则f′(x)=+2(x-1)=，(x＞0)

（1）由于a=-4，则f′(x)==

令f′（x）＞0，则x＞2，

故函数f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增

故f（x）的最小值为f（2）=1-4ln2

（2）由于函数f（x）在[，2]上存在单调递减区间，

则2x2-2x+a≤0亦即a≤-2x2+2x在[，2]上恒成立

故y=-2x2+2x在[，2]上递减，且最小值为

故实数a的取值范围是：a≤

（3）当△=22-4×2×a≤0，即a≥时，f′(x)=，(x＞0)恒大于等于0，

故此时函数无极值．

当0＜a＜时，令f′(x)=＞0，(x＞0)，则0＜x＜或x＞，

故此时函数在x=处取得极大值，在x=处取得极小值．

当a≤0时，令f′(x)=＞0，(x＞0)，则x＞，

故此时函数无极大值，在x=处取得极小值．

综上，当a≥时，函数无极值；

当0＜a＜时，函数在x=处取得极大值，在x=处取得极小值；

当a≤0时，函数无极大值，在x=处取得极小值．