热门试卷

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x2+2x）ex，f′（x）=-（x2-2）ex

令f′（x）＞0，得x2-2＜0，∴-＜x＜

∴f（x）的单调递增区间是（-，）；

（Ⅱ）f′（x）=[-x2+（a-2）x+a]ex，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，

即-x2+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，

即a≥x+1-对x∈（-1，1）恒成立，

令y=x+1-，则y′=1+＞0

∴y=x+1-在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-=

∴a≥

当a=时，当且仅当x=0时，f′（x）=0

∴a的取值范围是[，+∞）．

（Ⅰ）f（1）=-4×1+2=-2⇒1+a+b-2⇒a+b=-3，

f'（x）=4x3+2ax，f'（1）=-4⇒2a+4=-4

∴a=-4，b=1．

（Ⅱ）f（x）=x4-4x2+1⇒f'（x）=4x3-8x=4x（x2-2），f'（x）=0的根为0，±．

在（-∞，-）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（-，0）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

在（0，）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

故函数f（x）的单调递增区间为（-，0）、（+∞）；单调递减区间为（-∞，-）、（0，）．

（Ⅲ）f（-）=f（）=-3，f（0）=1，由f（x）=x4-4x2+1=1得，x=0，x=±2，

∴当0＜m＜时，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（m）=m4-4m2+1；

当≤m≤2时，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（）=-3．

当m＞2时，f（x）在[-m，m]上的最大值是f（m）=m4-4m2+1，最小值是f（）=-3．

（Ⅰ）由已知g（x）=ex-ex，

所以g'（x）=ex-e，…（1分）

由g'（x）=ex-e=0，得x=1，

所以，在区间（-∞，1）上，g'（x）＜0，

函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减；

在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，

函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；                      …（4分）

即函数g（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．

（Ⅱ）因为f'（x）=ex，

所以曲线y=f（x）在点P处切线为l：y-ex0=ex0(x-x0)．…（6分）

切线l与x轴的交点为（x0-1，0），与y轴的交点为(0，ex0-x0ex0)，…（8分）

因为x0＜0，所以S=(1-x0)(1-x0)ex0=(1-2x0+)ex0，

∵S′=ex0(-1)，

∴在区间（-∞，-1）上，函数S（x0）单调递增，在区间（-1，0）上，函数S（x0）单调递减．…（10分）

所以，当x0=-1时，S有最大值，此时S=，

所以，S的最大值为．…（12分）

（1）f′（x）=3x2-3ax，

令f′（x）=0，得x1=0，x2=a，

∵a＞1，

∴f（x）在[-1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数．

∴f（0）=b=1，

∵f（-1）=-a，f（1）=2-a，

∴f（-1）＜f（1），

∴f（-1）=-a=-2，a=．

∴f（x）=x3-2x2+1．

（2）g（x）=x3-2x2-mx+1，g′（x）=3x2-4x-m．

由g（x）在[-2，2]上为减函数，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．

∴，即

∴m≥20．

∴实数m的取值范围是m≥20．

①f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．②a＝e

①f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，

所以f′(x)＝－2x＋a＝.

由于a>0，∴由f′(x)>0知0<x<a，

由f′(x)<0知x>a.

所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．

②由题意知f(1)＝a－1≥e－1，

即a≥e.

由①知f(x)在[1，e]内递增，

要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．

只要 ∴a＝e.

（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，

即t3+at=0．因为t≠0，所以a=-t2．g（t）=0，即bt2+c=0，所以c=ab．

又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）=g'（t）．

而f'（x）=3x2+a，g'（x）=2bx，所以3t2+a=2bt．

将a=-t2代入上式得b=t．因此c=ab=-t3．故a=-t2，b=t，c=-t3．

（II）y=f（x）-g（x）=x3-t2x-tx2+t3，y'=3x2-2tx-t2=（3x+t）（x-t）．

当y'=（3x+t）（x-t）＜0时，函数y=f（x）-g（x）单调递减．

由y'＜0，若t＞0，则-＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜-．

由题意，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，则（-1，3）⊂（-，t）或（-1，3）⊂（t，-）．

所以t≥3或-≥3．即t≤-9或t≥3．

又当-9＜t＜3时，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减．

所以t的取值范围为（-∞，-9]∪[3，+∞）．

（1）

（2）增区间(0，2)，(3，+∞)；减区间(2，3)；极大值，极小值 ．

(1)因，故．

令x=1，得f(1)=16a，f '(1)=6－8a，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a=(6－8a)(x－1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a=8a－6，故a=．

(2)由(1)知，，

,

令，解得．

当03时，，故f(x)在(0，2)，(3，+∞)上为增函数;当2，故f(x)在(2，3)上为减函数．

由此可知f(x)在x=2处取得极大值，在x=3处取得极小值f(3)="2+6ln" 3．