- 与圆有关的比例线段
- 共49题
22.如图,在直角中,,为边上异于的一点,以为直径作,分别交于点.
(Ⅰ)证明:四点共圆;
(Ⅱ)若为中点,且,求的长.
正确答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题是有关直线与圆的问题,难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。
(Ⅰ)连结,则,
因为为直径,所以,
因为,所以,
所以,
所以四点共圆.
(Ⅱ)由已知为的切线,所以,故,
所以,
因为为中点,所以.
因为四点共圆,所以,
所以.
考查方向
解题思路
本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。
解题步骤如下:利用四点共圆的判定定理,证明四点共圆;利用切线性质和勾股定理及第一问的结论,求出的长。
易错点
第二问计算中,不易想到利用第一问四点共圆的性质解决。
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
如图,已知:是以为直径的半圆上一点,⊥于点,直线与过点的切线相交于点[来,为中点,连接交于点,
(Ⅰ)求证:∠BCF=∠CAB ;
(Ⅱ)若FB=FE=1,求⊙O的半径.
正确答案
(1)略
(2)
解析
(Ⅰ)证明:因为AB是直径,
所以∠ACB=90°
又因为F是BD中点,所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB
(Ⅱ)解:直线CF交直线AB于点G,
由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC
可证得:与全等,所以 FA=FG,
且AB=BG
由切割线定理得:(1+FG)2=BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ……②
由①、②得:FG2-2FG-3=0
解之得:FG1=3,FG2=-1(舍去)
所以AB=BG=
所以⊙O半径为.
考查方向
解题思路
第一问:由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB
第二问:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC,继而证得:与全等,得到FA=FG,由切割线定理得:(1+FG)2=BG×AG=2BG2 再由勾再由股定理得:BG2=FG2-BF2,,然后求出FG
易错点
1、第一问想到弦切角定理,进而向证明CF与圆相切,虽然可以证明,但是,但是过程稍烦一些。 2、第二问没有注意题中的已知条件,而运用导致无法计算
知识点
11. 如下图,是圆的切线,切点为交圆于两点,,
则 .
正确答案
解析
,
,
所以,
设,所以,
求得,,
由勾股定理可得,
,
所以,
所以
考查方向
解题思路
根据切线长定理,勾股定理求解
易错点
圆中线段关系弄错
知识点
22. 如图,是圆外一点,是圆的切线,为切点,割线与圆交于,,,为中点,的延长线交圆于点,证明:
(Ⅰ);(Ⅱ).
23. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),直线的参数方程为,(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为.
(Ⅰ)求点的直角坐标,并求曲线的普通方程;(Ⅱ)设直线与曲线的两个交点为,,求的值.
24. 已知函数,
(Ⅰ)若,解不等式:;(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围.
正确答案
22.略
23. (Ⅰ)(Ⅱ)6
24. (Ⅰ)(Ⅱ)或
解析
22. (Ⅰ)证明:连接,,由题设知,故
因为:,,
由弦切角等于同弦所对的圆周角:,
所以:,从而弧弧,因此:
(Ⅱ)由切割线定理得:,
因为,
所以:,
由相交弦定理得:
所以:
23. (Ⅰ)由极值互化公式知:点的横坐标,点的纵坐标所以;
消去参数的曲线的普通方程为:
(Ⅱ)点在直线上,
将直线的参数方程代入曲线的普通方程得:,
设其两个根为,,
所以:,,
由参数的几何意义知:
24. (Ⅰ)当时,
解得:,
所以原不等式解集为
(Ⅱ),若恒成立,
只需:
解得:或
考查方向
22.几何证明的相关知识
23. 参数方程和极坐标第
24. 本题考查了绝对值不等式的运用
解题思路
22.运用同圆中同弧或等弧所对的角相等,第二题中运用相交弦定理和切割线定理解决,注意进行线段关系的转化。
23. 按步骤解题
24.无
易错点
22.1.解题不规范 2.出边和角的关系。
23. 基础知识不扎实倒致错误。
24. 绝对值不等式不会运用
知识点
22.几何证明选讲
如图,是的切线,过圆心, 为的直径,与相交于、两点,连结、.
(1) 求证:;
(2) 求证:.
正确答案
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解析
(1)由是圆的切线,因此弦切角的大小等于夹弧所对的圆周角,在等腰中,,可得,所以.
(2)由与相似可知,,由切割线定理可知,,则,又,可得.
考查方向
本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力了与圆有关的比例线段
解题思路
(1)利用圆的切线的性质,结合等腰三角形的性质,即可证明∠PAD=∠CDE;
(2)利用△PBD∽△PEC,结合切割线定理即可证明结论.
易错点
圆的切线的性质不会灵活应用
知识点
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