- 二项式定理
- 共3480题
某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为
选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：
所以
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
所以ξ的分布列为
所以
解析
解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为
选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：
所以
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
所以ξ的分布列为
所以
高一（9）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍惜植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为
（1）第一组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下1粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；
（2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下1粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求第二小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列．
正确答案
解：（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，
即：
（2）依题意有，ξ取得所有可能值为1，2，3，4，5
Eξ=
解析
解：（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，
即：
（2）依题意有，ξ取得所有可能值为1，2，3，4，5
Eξ=
为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：
（Ⅰ）请补充完成2×2列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？
（Ⅱ）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数X的分布列与数学期望．附：K2=
正确答案
解：（Ⅰ）统计数据如下表：
将表中的数据代入公式，可求得
查表P（K2≥6.635）=0.010．∴有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关．
（Ⅱ）利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名．
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2，3，4．
其中 
所以X的分布列为
故X的数学期望为
另解：X～H（4，4，6），则
解析
解：（Ⅰ）统计数据如下表：
将表中的数据代入公式，可求得
查表P（K2≥6.635）=0.010．∴有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关．
（Ⅱ）利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名．
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2，3，4．
其中
所以X的分布列为
故X的数学期望为
另解：X～H（4，4，6），则
某工厂有甲、乙两个生产小组，每个小组各有四名工人，某天该厂每位工人的生产情况如下表．
（1）求乙组员工生产件数的平均数和方差；
（2）分别从甲、乙两组中随机选取一名员工的生产件数，求这两名员工的生产总件数为19的概率．
正确答案
解：（1）平均数为
方差为s2=
（2）记甲组四名员工分别为A1，A2，A3，A4，他们生产的产品件数依次为9，9，11，11；
乙组四名员工分别为B1，B2，B3，B4，他们生产的产品件数依次为9，8，9，10．
分别从甲、乙两组中随机选取一名员工，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）．
用C表示：“选出的两名员工的生产总件数为19”这一事件，则C中的结果有4个，
它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），
故所求概率为P（C）=
解析
解：（1）平均数为
方差为s2=
（2）记甲组四名员工分别为A1，A2，A3，A4，他们生产的产品件数依次为9，9，11，11；
乙组四名员工分别为B1，B2，B3，B4，他们生产的产品件数依次为9，8，9，10．
分别从甲、乙两组中随机选取一名员工，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）．
用C表示：“选出的两名员工的生产总件数为19”这一事件，则C中的结果有4个，
它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），
故所求概率为P（C）=
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格-成本，
∴X的所有值为：
500×10-1000=4000，500×6-1000=2000，
300×10-1000=2000，300×6-1000=800，
则P（X=4000）=P（
P（X=2000）=P（
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
解析
解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格-成本，
∴X的所有值为：
500×10-1000=4000，500×6-1000=2000，
300×10-1000=2000，300×6-1000=800，
则P（X=4000）=P（
P（X=2000）=P（
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇．
（Ⅰ）求抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（Ⅱ）求他能及格的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）设从10篇课文中随机抽3篇该同学能背诵的篇数为X，则X可取0，1，2，3，且服从超几何分布
∴P（X=k）=
∴X的分布列为
（Ⅱ）该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇，故概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）==．
解析
解：（Ⅰ）设从10篇课文中随机抽3篇该同学能背诵的篇数为X，则X可取0，1，2，3，且服从超几何分布
∴P（X=k）=
∴X的分布列为
（Ⅱ）该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇，故概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）==．
一个口袋中有红球3个，白球4个．
（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰好第2次中奖的概率；
（Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E（X）．
正确答案
解：（I）“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球”，
其概率为
（II）摸一次中奖的概率为p=
由条件知X～B（4，p），
∴EX=np=4×
解析
解：（I）“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球”，
其概率为
（II）摸一次中奖的概率为p=
由条件知X～B（4，p），
∴EX=np=4×
设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X1和X2（单位：cm），其分布列为：
求EX1，EX2，DX1，DX2，并分析两门火炮的优劣．
正确答案
解：根据题意，有EX1=82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2=89，
EX2=（82+86.5+90+92.5+94）×0.2=89，
DX1=（82-89）2×0.2+（83-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92-89）2×0.2+（98-89）2×0.2=35.2，
DX2=（82-89）2×0.2+（86.5-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92.5-89）2×0.2+（94-89）2×0.2=18.5．
∵EX1=EX2，故两门火炮的平均性能相当，
但DX1＞DX2，故乙火炮相对性能较稳定，
则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定．
解析
解：根据题意，有EX1=82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2=89，
EX2=（82+86.5+90+92.5+94）×0.2=89，
DX1=（82-89）2×0.2+（83-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92-89）2×0.2+（98-89）2×0.2=35.2，
DX2=（82-89）2×0.2+（86.5-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92.5-89）2×0.2+（94-89）2×0.2=18.5．
∵EX1=EX2，故两门火炮的平均性能相当，
但DX1＞DX2，故乙火炮相对性能较稳定，
则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定．
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，
两道工序的加工结果相互独立，
∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到
P甲=0.8×0.85=0.68，
P乙=0.75×0.8=0.6．
（2）由题意知ξ的取值是2.5，5
η的取值是1.5，，2.5，
∴随机变量ξ、η的分布列如下：
P（ξ=2.5）=0.32
P（ξ=5）=0.68
P（η=2.5）=0.6
P（η=1.5）=0.4
∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1
解析
解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，
两道工序的加工结果相互独立，
∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到
P甲=0.8×0.85=0.68，
P乙=0.75×0.8=0.6．
（2）由题意知ξ的取值是2.5，5
η的取值是1.5，，2.5，
∴随机变量ξ、η的分布列如下：
P（ξ=2.5）=0.32
P（ξ=5）=0.68
P（η=2.5）=0.6
P（η=1.5）=0.4
∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为ξ．
（1）求ξ=6的概率；
（2）求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（1）当ξ=6时，若甲赢意味着“第6次甲赢，前5次赢3次，
但根据规则，前4次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为
因此P（ξ=6）=2
（2）分布列为：
…10分
∴Eξ=4×+5×+6×+7×= …12分
解析
解：（1）当ξ=6时，若甲赢意味着“第6次甲赢，前5次赢3次，
但根据规则，前4次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为
因此P（ξ=6）=2
（2）分布列为：
…10分
∴Eξ=4×+5×+6×+7×= …12分
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