- 二项式定理
- 共3480题
一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果（m，n）有6×6=36种，
其中和为6的结果有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5种，
则所求概率为
（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6，
所以，随机变量X的分布列为：
解析
解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果（m，n）有6×6=36种，
其中和为6的结果有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5种，
则所求概率为
（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6，
所以，随机变量X的分布列为：
某科目考试有30道题每小题有三个选项，每题2分，另有20道题，每题有四个选项每题3分，每题只有一个答案，某人随机去选答案，则平均能得______分．
正确答案
35
解析
解：由题意，30道题每小题有三个选项，每题2分，每题只有一个答案，某人随机去选答案，则可得2×30×
20道题，每题有四个选项每题3分，每题只有一个答案，某人随机去选答案，则可得3×20×
故平均能得35分
故答案为：35分．
设ξ是离散型随机变量，
正确答案
3
解析
解：∵
∴
∴a=1，b=2则 a+b=3
故答案为：3．
小张有4张VCD光盘和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所有10张光盘都各不相同．现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：
（1）小张恰有4张VCD光盘的概率；
（2）小张的DVD光盘张数X的分布列与期望．
正确答案
解：（1）记事件A为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换”，事件B为“小张和小王各拿一张DCD光盘交换”，
则A，B互斥，且
故所求概率为
（2）X所有可能取值为2，3，4，且
故X的分布列为
X的期望．
解析
解：（1）记事件A为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换”，事件B为“小张和小王各拿一张DCD光盘交换”，
则A，B互斥，且
故所求概率为
（2）X所有可能取值为2，3，4，且
故X的分布列为
X的期望．
有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．
（1）求n的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）∵当ξ=2时，有Cn2种坐法，
∴Cn2=6，
即
n2-n-12=0，n=4或n=-3（舍去），
∴n=4．
（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，
由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
∴
∴ξ的概率分布列为：
∴．
解析
解：（1）∵当ξ=2时，有Cn2种坐法，
∴Cn2=6，
即
n2-n-12=0，n=4或n=-3（舍去），
∴n=4．
（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，
由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
∴
∴ξ的概率分布列为：
∴．
2010年11月广州成功举办了第十六届亚运会．在华南理工大学学生会举行的亚运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关亚运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）求回答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p1，p2，
根据题意，得
解得
故乙答对的概率为
（2）ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列如下：
数学期望为Eξ=+++=．
解析
解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p1，p2，
根据题意，得
解得
故乙答对的概率为
（2）ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列如下：
数学期望为Eξ=+++=．
甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分）
乙得分的分布列为：
…（6分）
所以乙得分的数学期望为15…（8分）
（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）
甲通过测试的概率为…（11分）
甲、乙都没通过测试的概率为
因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）
解析
解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分）
乙得分的分布列为：
…（6分）
所以乙得分的数学期望为15…（8分）
（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）
甲通过测试的概率为…（11分）
甲、乙都没通过测试的概率为
因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）
（理科）某中学高一年级美术学科开设书法、绘画、雕塑三门校本选修课，学生可选也可不选，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修书法的概率为0.08，只选修书法和绘画的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88．
（1）依题意分别计算该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率；
（2）用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率分别为x，y，z，
∵只选修书法的概率为0.08，只选修书法和绘画的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88
∴
∴x=0.4，y=0.6，z=0.5
∴该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率分别为0.4，0.6，0.5；
（2）随机变量ξ的可能取值为0和2
P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
∴随机变量ξ的分布列为
∴Eξ=2×0.76=1.52．
解析
解：（1）设该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率分别为x，y，z，
∵只选修书法的概率为0.08，只选修书法和绘画的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88
∴
∴x=0.4，y=0.6，z=0.5
∴该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率分别为0.4，0.6，0.5；
（2）随机变量ξ的可能取值为0和2
P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
∴随机变量ξ的分布列为
∴Eξ=2×0.76=1.52．
甲、乙两班参加数学知识竞赛，每班出3人组成代表队，每人一道必答题，答对为本队得1分，答错或不答得0分，假如甲队每人答对的概率均为
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列与均值E（ξ）；
（Ⅱ）用A表示事件“甲、乙两队得分和为3”，B表示事件“甲队得分大于乙队得分”，求P（AB）．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ=0×
（Ⅱ）用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，
所以AB=C∪D，且C，D互斥，
又P（C）=
P（D）=
由互斥事件的概率公式得P（AB）=P（C）+P（D）=
解析
解：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ=0×
（Ⅱ）用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，
所以AB=C∪D，且C，D互斥，
又P（C）=
P（D）=
由互斥事件的概率公式得P（AB）=P（C）+P（D）=
现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
正确答案
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，
∴P（B）=P（A3）+P（A4）=
（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=
P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=
解析
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，
∴P（B）=P（A3）+P（A4）=
（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=
P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=
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