二项式定理_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

对于下列分布列有P（|ξ|=2）=______．

正确答案

解析

解：由分布列的性质可得a++c=1，故可得a+c=，

故可得P（|ξ|=2）=P（ξ=2）+P（ξ=-2）=a+c=，

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

设随机变量X～B（40，p），且E（X）=16，则p等于（　　）

A0.1

B0.2

C0.3

D0.4

正确答案

D

解析

解：∵随机变量X～B（40，p），且E（X）=16，

∴40P=16，

∴．

故选：D

1

题型：单选题

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单选题

某一随机变量ξ的概率分布如下表，且Eξ=1.5，则m-n的值为（　　）

A-0.3

B0.1

C0.3

D-0.1

正确答案

C

解析

解：∵Eξ=1.5，

∴m+2n+3×0.3=1.5 ①

根据分布列的性质可以得到0.2+n+m+0.3=1 ②

根据①②联立解方程组得到m=0.4，n=0.1

∴m-n=0.3

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生（包括x位女学生，3位男学生）中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会是相同的．

（1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值；

（2）在（1）的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列．

正确答案

解：（1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法：=，2位学生中恰有1位女学生的方法数为CC=（n-3）×3．

依题意可得：=，

化简得n2-11n+30=0，解得n1=5，n2=6．

当n=5时，x=5-3=2；当n=6时，x=6-3=3．

故（2）当时，X可能的取值为0，1，2，

X=0表示只选派2位男生，这时P（X=0）==，

X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P（X=1）==，

X=2表示只选派2位女生，这时P（X=2）==．

X的分布列为

当时，X可能的取值为0，1，2X=0表示只选派2位男生，这时P（X=0）==，

X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P（X=1）==，

X=2表示只选派2位女生，这时P（X=2）==．

X的分布列为

解析

解：（1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法：=，2位学生中恰有1位女学生的方法数为CC=（n-3）×3．

依题意可得：=，

化简得n2-11n+30=0，解得n1=5，n2=6．

当n=5时，x=5-3=2；当n=6时，x=6-3=3．

故（2）当时，X可能的取值为0，1，2，

X=0表示只选派2位男生，这时P（X=0）==，

X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P（X=1）==，

X=2表示只选派2位女生，这时P（X=2）==．

X的分布列为

当时，X可能的取值为0，1，2X=0表示只选派2位男生，这时P（X=0）==，

X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P（X=1）==，

X=2表示只选派2位女生，这时P（X=2）==．

X的分布列为

1

题型：填空题

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填空题

（理）设整数m是从不等式x2-2x-8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=______．

正确答案

5

解析

解：由x2-2x-8≤0得-2≤x≤4，符合条件的整数解的集合S={-2，-1，0，1，2，3，4}

∵ξ=m2，故变量可取的值分别为0，1，4，9，16，

相应的概率分别为，，，，

∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+4×+9×+16×==5

故答案为：5．

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题型：简答题

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简答题

某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加学校的义务劳动．

（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；

（2）求男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率；

（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．

正确答案

解：（1）X=0、1、2、3…（1分），

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．

∴ξ的分布列为：

…（4分）

（2）P=1-…（8分）

（3）P（A）=，P（AB）=，P（B|A）==…（12分）

解析

解：（1）X=0、1、2、3…（1分），

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．

∴ξ的分布列为：

…（4分）

（2）P=1-…（8分）

（3）P（A）=，P（AB）=，P（B|A）==…（12分）

1

题型：简答题

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简答题

小王参加2012年度某项劳动技能考试．考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科目B的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能合格证．已知他每次参加科目A考试合格的概率均为，每次参加科目B考试合格的概率均为，且各次考试是否合格互不影响．

（1）求小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率；

（2）记小王参加2012年度该项劳动技能考试的次数为ξ（含可能的补考次数），求随机变量ξ的分布列．

正确答案

解：（1）设小王参加科目A考试合格与补考合格分别为事件A1，A2，参加科目B考试合格与补考合格分别为事件B1，B2．

由已知，，． …（2分）

又A1，B1相互独立，所以P（“小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证”）=P（A1B1）=． …（5分）

故小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率为． …（6分）

（2）随机变量ξ的可能取值为2，3，4． …（7分）

则，…（8分）…（11分）

所以随机变量ξ的分布列为：

…（12分）

解析

解：（1）设小王参加科目A考试合格与补考合格分别为事件A1，A2，参加科目B考试合格与补考合格分别为事件B1，B2．

由已知，，． …（2分）

又A1，B1相互独立，所以P（“小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证”）=P（A1B1）=． …（5分）

故小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率为． …（6分）

（2）随机变量ξ的可能取值为2，3，4． …（7分）

则，…（8分）…（11分）

所以随机变量ξ的分布列为：

…（12分）

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题型：简答题

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简答题

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学．每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况．

（Ⅰ）求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率；

（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．

正确答案

解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B．由于事件A、B相互独立，且，．

所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为

（Ⅱ）设ξ可能的取值为0，1，2，3．得

P（ξ=0）=

P（ξ=1）=═

P（ξ=3）==

P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，

ξ的分布列

∴ξ的数学期望Eξ=

解析

解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B．由于事件A、B相互独立，且，．

所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为

（Ⅱ）设ξ可能的取值为0，1，2，3．得

P（ξ=0）=

P（ξ=1）=═

P（ξ=3）==

P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，

ξ的分布列

∴ξ的数学期望Eξ=

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题型：简答题

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简答题

在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．

（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；

（Ⅱ）求三人得分相同的概率；

（Ⅲ）设在该小组比赛中甲得分数为ξ，求Eξ．

正确答案

解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A，

所有场次为（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）

则甲获小组第一且丙获小组第二为甲胜两场，丙胜一场

所以P（A）=

（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B，

即每人胜一场输两场，有以下两种情形：

甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为P1=，

甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为P2=，

三人得分相同的概率为P（B）=P1+P2==．

（Ⅲ）ξ可能的取值为0、1、2，

P（ξ=0）=，P（ξ=1）=+=，

P（ξ=2）=，

所以ξ的分布列为：

Eξ=0×+1×+2×=．

解析

解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A，

所有场次为（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）

则甲获小组第一且丙获小组第二为甲胜两场，丙胜一场

所以P（A）=

（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B，

即每人胜一场输两场，有以下两种情形：

甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为P1=，

甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为P2=，

三人得分相同的概率为P（B）=P1+P2==．

（Ⅲ）ξ可能的取值为0、1、2，

P（ξ=0）=，P（ξ=1）=+=，

P（ξ=2）=，

所以ξ的分布列为：

Eξ=0×+1×+2×=．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）

（1）求；

（2）求E（X）

正确答案

解：（1）从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，

事件“”所含基本事件有2×3+1=7，

从而．（5分）

（2）X的取值为0，，，1，

P（X=0）==；P（X=）=；P（X=）=；P（X=1）=

分布列为：

则．

答：，．（10分）

解析

解：（1）从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，

事件“”所含基本事件有2×3+1=7，

从而．（5分）

（2）X的取值为0，，，1，

P（X=0）==；P（X=）=；P（X=）=；P（X=1）=

分布列为：

则．

答：，．（10分）

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