- 二项式定理
- 共3480题
把4个小球随机地投入4个盒子中，设ξ表示空盒子的个数，ξ的数学期望Eξ=______．
正确答案
解析
解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×
故答案为：
若随机变量ξ的分布列为：
则Y的值为（ ）
正确答案
解析
解：由分布列的性质知道，
在一个分布列中，所有的变量的概率之和是1，
∴0.3+0.1+Y+0.2=1
∴Y=0.4，
故选C．
设随机变量ξ只可能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P（ξ≥9）=______；P（6＜ξ≤14）=______．
正确答案
解析
解：由题意知随机变量ξ只可能取5，6，7，…，16这12个值
∴P（ξ=n）=
∴P（ξ≥9）=P（ξ=9）+P（ξ=10）+…+P（ξ=16）=
P（6＜ξ≤14）=P（ξ=7）+P（ξ=8）+…+P（ξ=14）=
故答案为：
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…6）．
求：
（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”，则
由等可能性事件的概率计算公式得
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
从而知ξ有分布列
所以，．（14分）
解析
解：（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”，则
由等可能性事件的概率计算公式得
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
从而知ξ有分布列
所以，．（14分）
某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊．
（I）设所选5人中女医生的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（II）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率．
正确答案
解：（I）ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，…．…．（2分）
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
ξ．的分布列为
Eξ=…（9分）
（II）记“张强被选中”为事件A，“李莉也被选中”为事件B，
则P（A）=，P（BA）=，
所以P（B|A）=…（12分）
解析
解：（I）ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，…．…．（2分）
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
ξ．的分布列为
Eξ=…（9分）
（II）记“张强被选中”为事件A，“李莉也被选中”为事件B，
则P（A）=，P（BA）=，
所以P（B|A）=…（12分）
随机变量X的分布列如下表如示，若数列{pn}是以p1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（p1，q）．现随机变量X∽Q（
（Ⅰ）求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意得，数列{pn}是以
所以
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列为：
所以EX=
=（4分）
所以2EX=（5分）
两式相减得EX=（6分）
=，（7分）
所以随机变量X的数学期望EX．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得：
随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为++（10分）
所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为=（13分）
解析
解：（Ⅰ）依题意得，数列{pn}是以
所以
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列为：
所以EX=
=（4分）
所以2EX=（5分）
两式相减得EX=（6分）
=，（7分）
所以随机变量X的数学期望EX．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得：
随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为++（10分）
所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为=（13分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？
（3）设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望Eξ．（结果可以用分数表示）
正确答案
解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P（A1）=1-P（
答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为；…（4分）
（2）记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，
故P（A2）=×××+×××=，
答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是…（8分）
（3）根据题意ξ服从二项分布，…（12分）
（3）方法二：
∴…（12分）
说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣（1分），没有答，分别扣（1分）．
第（3）问方法对，算错数的扣（2分）
解析
解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P（A1）=1-P（
答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为；…（4分）
（2）记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，
故P（A2）=×××+×××=，
答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是…（8分）
（3）根据题意ξ服从二项分布，…（12分）
（3）方法二：
∴…（12分）
说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣（1分），没有答，分别扣（1分）．
第（3）问方法对，算错数的扣（2分）
已知t=0时刻一质点在数轴的原点，该质点每经过1秒就要向左或向右跳动一个单位长度，已知每次跳动，该质点向左的概率为
（1）求t=3秒时刻，该质点在数轴上x=1处的概率．
（2）设t=3秒时刻，该质点在数轴上x=ξ处，求Eξ、Dξ．
正确答案
解析：（1）由题意，质点右跳二次，左跳一次．
∴概率
（2）设t=3秒时刻，质点已向右跳了η次，则
∴
又∵ξ=η-（3-η）=2η-3∴Eξ=2Eη-3=1
解析
解析：（1）由题意，质点右跳二次，左跳一次．
∴概率
（2）设t=3秒时刻，质点已向右跳了η次，则
∴
又∵ξ=η-（3-η）=2η-3∴Eξ=2Eη-3=1
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都没有投中的概率为
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2.
所以 
解析
解：（Ⅰ）依题意，甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都没有投中的概率为
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2.
所以
①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；
②（ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；
（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．
设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．
（1）求ξ=0的概率；
（2）求ξ的概率分布及数学期望．
正确答案
解：（1）事件“ξ=0”包含：“首次积分为0分”事件A和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”事件B，且A与B两者互斥，
∵P（A）=
又∵由题意参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，
∴P（B）=
∴
（2）ξ的所有可能取值为0，10，40，100，
由（1）知
又
所以ξ的概率分布为：
因此，（分）．
解析
解：（1）事件“ξ=0”包含：“首次积分为0分”事件A和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”事件B，且A与B两者互斥，
∵P（A）=
又∵由题意参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，
∴P（B）=
∴
（2）ξ的所有可能取值为0，10，40，100，
由（1）知
又
所以ξ的概率分布为：
因此，（分）．
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