- 二项式定理
- 共3480题
五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如
图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．
例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望
（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）依题意知，ξ服从二项分布ξ～B（n，p），
∴由二项分布的期望公式可得：
又因为根据二项分布的方差公式可得：
由①②联立解得：
（2）设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则
由题意得，该顾客可转动转盘2次，所以随机变量η的可能值为0，30，60，90，120．---------------------（5分）
则有
所以，随机变量η的分布列为：
所以其数学期望-------------------（12分）
解析
解：（1）依题意知，ξ服从二项分布ξ～B（n，p），
∴由二项分布的期望公式可得：
又因为根据二项分布的方差公式可得：
由①②联立解得：
（2）设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则
由题意得，该顾客可转动转盘2次，所以随机变量η的可能值为0，30，60，90，120．---------------------（5分）
则有
所以，随机变量η的分布列为：
所以其数学期望-------------------（12分）
某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排粪型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如xIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不舍右端点）
（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；
（2）从乙组准确回忆结束在|12，24）范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量x．求X分布列及数学期望；
（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．
正确答案
解：（1）∵1000×5%=50，
由甲图知，甲组有4+10+8+4+2+1+1=30（人），
∴乙组有20人，
又∵40×60=24，
∴识记停止8小时后，40个音节的保持率大于等于60%的在甲组有1人，
乙组有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人），
∴（1+8）÷5%=180，
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数为180人．
（Ⅱ）由乙图知，乙组在[12，24）之间有（0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人），
在[20，24）有0.075×4×20=6（人），
∴X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
∴EX==．
（Ⅲ）甲组学生准确回忆音节共有：2×4+6×10+10×8+14×4+18×21+22×1+26×1=288个，
∴甲组学生的平均保持率为：．
乙组学生准确回忆音节数共有：
（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432个，
∴乙组学生平均保持率为＞0.24，
∴临睡前背单调记忆效果更好．
解析
解：（1）∵1000×5%=50，
由甲图知，甲组有4+10+8+4+2+1+1=30（人），
∴乙组有20人，
又∵40×60=24，
∴识记停止8小时后，40个音节的保持率大于等于60%的在甲组有1人，
乙组有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人），
∴（1+8）÷5%=180，
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数为180人．
（Ⅱ）由乙图知，乙组在[12，24）之间有（0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人），
在[20，24）有0.075×4×20=6（人），
∴X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
∴EX==．
（Ⅲ）甲组学生准确回忆音节共有：2×4+6×10+10×8+14×4+18×21+22×1+26×1=288个，
∴甲组学生的平均保持率为：．
乙组学生准确回忆音节数共有：
（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432个，
∴乙组学生平均保持率为＞0.24，
∴临睡前背单调记忆效果更好．
已知随机变量ξ～B（20，p），则Dξ的最大值为______．
正确答案
5
解析
解：∵随机变量ξ～B（20，p），0≤p≤1，∴Dξ=20p（1-p）≤20×
∴Dξ的最大值为5．
故答案为5．
四枚不同的金属纪念币A，B，C，D，投掷时，A，B两枚正面向上的概率均为
（Ⅰ）求ξ的分布列（用a表示）；
（Ⅱ）若有一枚正面向上对应的概率最大，求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
∴ξ的分布列为
（Ⅱ）∵0＜a＜1
∴P（ξ=0）＜P（ξ=1），P（ξ=4）＜P（ξ=3）
∴，
解得
∴a的取值范围为．
解析
解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
∴ξ的分布列为
（Ⅱ）∵0＜a＜1
∴P（ξ=0）＜P（ξ=1），P（ξ=4）＜P（ξ=3）
∴，
解得
∴a的取值范围为．
某兴趣小组有10名学生，其中高一高二年级各有3人，高三年级4人，从这10名学生中任选3人参加一项比赛，求：
（1）选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人的概率；
（2）选出的3名学生中，高二年级学生数ξ的分布列．
正确答案
解：（1）所有的取法共计有
选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人的取法有 
故选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人的概率为 
（2）选出的3名学生中，高二年级学生数ξ的可能取值为0，1，2，3，
且 
所以随机变量ξ的分布列是
解析
解：（1）所有的取法共计有
选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人的取法有
故选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人的概率为
（2）选出的3名学生中，高二年级学生数ξ的可能取值为0，1，2，3，
且
所以随机变量ξ的分布列是
一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；
（2）求η的分布列及期望E（η）．
正确答案
解：（1）∵服从B∽（3，0.4），运用概率公式P=
∴
（2）∵采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
∴可能取值为200元，250元，300元．
根据表格知识得出：P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
η的分布列为：
E（η）=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．
解析
解：（1）∵服从B∽（3，0.4），运用概率公式P=
∴
（2）∵采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
∴可能取值为200元，250元，300元．
根据表格知识得出：P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
η的分布列为：
E（η）=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．
设随机变量ξ的概率分布为
正确答案
4
解析
解：∵由题意知根据所有的概率和为1∴
∵括号中为无穷等比数列，根据无穷等比递缩数列的求和公式得到s=
∴
∴a=4
故答案为：4
袋中有大小质地相同的5个球，2白3黑，现从中摸球，规定：每次从袋中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个白球入袋、若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为X，则X的数学期望为______．
正确答案
解析
解：由题意，X的取值为2，3，4，则
P（X=2）=
∴EX=2×
故答案为
某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是
（1）求该人获得奖金的概率；
（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）设An（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则An（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（An）=
∴该人获得奖金的概率为P=P（A1A2A3A4A5）+P（
=
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则
P（ξ=0）=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为
∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．
解析
解：（1）设An（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则An（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（An）=
∴该人获得奖金的概率为P=P（A1A2A3A4A5）+P（
=
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则
P（ξ=0）=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为
∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．
某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．
（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；
（2）设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）由题意，一对一连线，共有
∴该参赛者恰好连对一条的概率为
（2）X为的所有可能取值为-8，-1，6，20，则
P（X=-8）=
∴X的分布列为
数学期望EX=-3-++=-1．
解析
解：（1）由题意，一对一连线，共有
∴该参赛者恰好连对一条的概率为
（2）X为的所有可能取值为-8，-1，6，20，则
P（X=-8）=
∴X的分布列为
数学期望EX=-3-++=-1．
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