- 二项式定理
- 共3480题
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ=
正确答案
解析
解解：（I）由题意知，
P（2，1）=
P（3，2）=
∴P（m，n）=
（II）由题意知变量ξ的可能取值是3，2，1
P（ξ=3）=
P（ξ=2）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列是
∴Eξ=3×
某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为
（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；
（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．
记事件至少有一次实验成功为D，
则P（D）=1-
（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．
则P（X=0）=
P（X=30000）=
X分布列为：
X的数学期望E（X）=+++=21600元．
解析
解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．
记事件至少有一次实验成功为D，
则P（D）=1-
（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．
则P（X=0）=
P（X=30000）=
X分布列为：
X的数学期望E（X）=+++=21600元．
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为-15，0，15，30．
乙得分的分布列如下：
． …（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．
则 ，…（8分）
． …（10分）
故甲乙两人至少有一人入选的概率． …（12分）
解析
解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为-15，0，15，30．
乙得分的分布列如下：
． …（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．
则 ，…（8分）
． …（10分）
故甲乙两人至少有一人入选的概率． …（12分）
设随机变量X的分布为
（Ι）P（X＜3）
（Ⅱ）
（Ⅲ）P（2≤X≤4）
正确答案
解：∵随机变量X的分布为
∴i（
∴
∴i=
（I）P（X＜3）=
（Ⅱ）
（Ⅲ）P（2≤X≤4）=i（
解析
解：∵随机变量X的分布为
∴i（
∴
∴i=
（I）P（X＜3）=
（Ⅱ）
（Ⅲ）P（2≤X≤4）=i（
从1、2、3、4四个数中任取两个数相加，相加的结果可能是偶数，也可能是奇数．
（1）求相加的结果是偶数的概率．
（2）若任取两个数相加，其和记为ξ；，求ξ的分布列及期望值．
正确答案
解：（1）从1、2、3、4四个数中任取两个数，其基本事件有（1，2）；（1，3）；（1，4）；
（2，3）；（2，4）；（3，4），共6个．…（3分）
其和为偶数的事件包括：（1，3）；（2，4）共2个．…（5分）
故相加的结果是偶数的概率是P=
（2）从（1）中可得任取两个数之和ξ可能出现的结果有3、4、5、6、7，…（9分）
其分布列为：
…（11分）
∴ξ的数学期望．…（13分）
解析
解：（1）从1、2、3、4四个数中任取两个数，其基本事件有（1，2）；（1，3）；（1，4）；
（2，3）；（2，4）；（3，4），共6个．…（3分）
其和为偶数的事件包括：（1，3）；（2，4）共2个．…（5分）
故相加的结果是偶数的概率是P=
（2）从（1）中可得任取两个数之和ξ可能出现的结果有3、4、5、6、7，…（9分）
其分布列为：
…（11分）
∴ξ的数学期望．…（13分）
设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个，
平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，
∴
（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•22=4π，平面区域V的面积为：
在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为
易知：X的可能取值为0，1，2，3，
且
∴X的分布列为：
∴X的数学期望：
（或者：，故．
解析
解：（1）依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个，
平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，
∴
（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•22=4π，平面区域V的面积为：
在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为
易知：X的可能取值为0，1，2，3，
且
∴X的分布列为：
∴X的数学期望：
（或者：，故．
设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8
∴P（ξ=0）=
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或
∴P（ξ=
∴随机变量ξ的分布列是：
∴其数学期望E（ξ）=1×+=．
解析
解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8
∴P（ξ=0）=
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或
∴P（ξ=
∴随机变量ξ的分布列是：
∴其数学期望E（ξ）=1×+=．
（1）设n=10，求y＜0的概率；
（2）若P（y＞0）=
正确答案
解：（1）由程序框图所给的算法可知y是关于随机变量x的函数．
当x＜5时，由不等式2x-8＜0可得x＜3，故x可取1，2；
当5≤x≤10时，由不等式x2-14x+45＜0可得5＜x＜9，故x可取6，7，8；
，从{1，2，3，…，10}中随机地抽出一个数x，基本事件的总数为10，
事件y＜0包含的基本事件的个数为5，
由古典概型的概率公式得n=10时，y＜0的概率为
（2）当x＜5时，由不等式2x-8＞0可得x＞3，故x可取4；
当x≥5时，由不等式x2-14x+45＞0可得x＞9；
所以当n＜4时，p（y＞0）=0；
当4≤n＜10时，p（y＞0）=
当n≥10时，p（y＞0）=
由P（y＞0）=
当x分别取1，2，3，4，5，6时，输出的y值依次为-6，-4，0，8，0，-3，
故ξ的分布列为
Eξ=-6×
解析
解：（1）由程序框图所给的算法可知y是关于随机变量x的函数．
当x＜5时，由不等式2x-8＜0可得x＜3，故x可取1，2；
当5≤x≤10时，由不等式x2-14x+45＜0可得5＜x＜9，故x可取6，7，8；
，从{1，2，3，…，10}中随机地抽出一个数x，基本事件的总数为10，
事件y＜0包含的基本事件的个数为5，
由古典概型的概率公式得n=10时，y＜0的概率为
（2）当x＜5时，由不等式2x-8＞0可得x＞3，故x可取4；
当x≥5时，由不等式x2-14x+45＞0可得x＞9；
所以当n＜4时，p（y＞0）=0；
当4≤n＜10时，p（y＞0）=
当n≥10时，p（y＞0）=
由P（y＞0）=
当x分别取1，2，3，4，5，6时，输出的y值依次为-6，-4，0，8，0，-3，
故ξ的分布列为
Eξ=-6×
甲、乙、丙三人独立参加入学考试合格的概率分别为
求：①三人中恰有两人合格的概率；
②三人中至少有一人合格的概率．
③合格人数ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件，并且是研究同时发生的概率．
三个人中恰有2个合格，包括三种情况即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且这三种情况是互斥的，
所以三人中恰有两人合格的概率 
所以三人中恰有两人合格的概率为
（2）因为事件“三人中至少有一人合格”与事件“三人都没有合格”是对立事件，
所以它们的概率之和为1．
因为三人都没有合格的概率为：
所以三人中至少有一人合格的概率为
（3）由题意可得：合格人数ξ可能取的值为：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以合格人数ξ的期望为：E（ξ）=0×
解析
解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件，并且是研究同时发生的概率．
三个人中恰有2个合格，包括三种情况即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且这三种情况是互斥的，
所以三人中恰有两人合格的概率
所以三人中恰有两人合格的概率为
（2）因为事件“三人中至少有一人合格”与事件“三人都没有合格”是对立事件，
所以它们的概率之和为1．
因为三人都没有合格的概率为：
所以三人中至少有一人合格的概率为
（3）由题意可得：合格人数ξ可能取的值为：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以合格人数ξ的期望为：E（ξ）=0×
一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=______．
正确答案
1
解析
解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则
ξ的分布列为：
Eξ==1．
故答案为：1
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