- 二项式定理
- 共3480题
袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．
正确答案
解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．
随机变量X的概率分布为
因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×+5×=5．
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=++=．
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，）
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C41××（）3-C40×（）4=．
解析
解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．
随机变量X的概率分布为
因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×+5×=5．
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=++=．
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，）
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C41××（）3-C40×（）4=．
已知X～B（n，
正确答案
解析
解：∵X～B（n，
∴E（X）=15=
∴E（Y）=30×
故选：D．
不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3．取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所 标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为ξ．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6．
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
P（ξ=6）=
所以随机变量ξ的分布列为
（Ⅱ）随机变量ξ的期望为：
Eξ=2×+3×+4×+5×+6×
=．
解析
解：（Ⅰ）由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6．
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
P（ξ=6）=
所以随机变量ξ的分布列为
（Ⅱ）随机变量ξ的期望为：
Eξ=2×+3×+4×+5×+6×
=．
用1，2，3，4，5这五个数字组成数字不重复的五位数，由这些五位数构成集合M，我们把千位数字比万位数字和百位数字都小，且十位数字比百位数字和个位数字都小的五位数称为“五位凹数”例如：21435就是一个五位凹数．
（1）求从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率．
（2）设集合M中的“五位凹数”的十位数字为X，求X的数学期望．
正确答案
解：（1）用1，2，3，4，5这五个数字组成数字不重复的五位数，
共有5!=120个，
对于“五位凹数”，可考虑千位：若千位为3，百、万位排4，5，则十位为1，则有2个；
若千位为2，百、万位排3，4 或3，5或4，5，则十位即为1，则有2+2+2=6个；
若千位为1，百、万位不排2，3，排2，4，则十位排3，有1个；
百、万位排2，5，则十位排3，有1个；
百、万位排3，4，或3，5或4，5，则十位排2，则有2+2+2=6个；
故共有这样的“五位凹数”2+6+1+1+6=16个．
则有从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率为：
（2）由（1）可知，X=1，2，3．
且有P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
则X的数学期望是E（X）=1×
解析
解：（1）用1，2，3，4，5这五个数字组成数字不重复的五位数，
共有5!=120个，
对于“五位凹数”，可考虑千位：若千位为3，百、万位排4，5，则十位为1，则有2个；
若千位为2，百、万位排3，4 或3，5或4，5，则十位即为1，则有2+2+2=6个；
若千位为1，百、万位不排2，3，排2，4，则十位排3，有1个；
百、万位排2，5，则十位排3，有1个；
百、万位排3，4，或3，5或4，5，则十位排2，则有2+2+2=6个；
故共有这样的“五位凹数”2+6+1+1+6=16个．
则有从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率为：
（2）由（1）可知，X=1，2，3．
且有P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
则X的数学期望是E（X）=1×
一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30．假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ．
正确答案
解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3），
则P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3．
由题意ξ有四个可能值0，1，2，3．
由于A1，A2，A3相互独立，
∴P（ξ=0）=P（
P（ξ=1）=P（A1
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；
P（ξ=2）=P（A1A2
=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；
P（ξ=3）=P（A1A2A3）=0.1×0.2×0.3=0.006．
∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，
Dξ=Eξ2-（Eξ）2=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.62=0.82-0.36=0.46．
解析
解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3），
则P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3．
由题意ξ有四个可能值0，1，2，3．
由于A1，A2，A3相互独立，
∴P（ξ=0）=P（
P（ξ=1）=P（A1
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；
P（ξ=2）=P（A1A2
=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；
P（ξ=3）=P（A1A2A3）=0.1×0.2×0.3=0.006．
∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，
Dξ=Eξ2-（Eξ）2=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.62=0.82-0.36=0.46．
箱子里装有10个大小相同的编号为1、2、3的小球，其中1号小球有2个，2号小球有m，3号小球有n个，且m＜n．从箱子里一次摸出两个球号码是2号和3号各一个的概率是
（1）求m，n的值；
（2）从箱子里一次任意摸出两个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由已知有
又m+n=8，m＜n，∴
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，6（5分）
ξ的分布列为
ξ的数学期望为：（12分）
解析
解：（1）由已知有
又m+n=8，m＜n，∴
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，6（5分）
ξ的分布列为
ξ的数学期望为：（12分）
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记 ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ=3的概率和ξ的数学期望 Eξ；
（3）如果规定在容器入口处放入1个小球，若小球落入A袋奖10 元，若小球落入B袋罚4元，试求所得奖金数η的分布列和数学期望，并回答你是否参加这个游戏？
正确答案
解：（1）设小球落入B袋中的概率P（B），小球落入A袋中的概率P（A）；
只有小球一直向左或一直向右，才能落入B袋中，故P（B）=
而事件“小球落入A袋”与“小球落入B袋”是对立事件．
故P（A）=1-P（B）=
（2）由题意可知：ξ～B（4，
Eξ=
（3）由（1）可知：P（η=10）=
∴Eη=+=6.5．
由于6.5＞0，因此可以参加这个游戏．
解析
解：（1）设小球落入B袋中的概率P（B），小球落入A袋中的概率P（A）；
只有小球一直向左或一直向右，才能落入B袋中，故P（B）=
而事件“小球落入A袋”与“小球落入B袋”是对立事件．
故P（A）=1-P（B）=
（2）由题意可知：ξ～B（4，
Eξ=
（3）由（1）可知：P（η=10）=
∴Eη=+=6.5．
由于6.5＞0，因此可以参加这个游戏．
在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．
（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵从装有10只球的口袋中每次从中摸出2个球有
摸出的球是同色的事件数是2
设仅一次摸球中奖的概率为P1，
则P1=
（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则
P2=
（Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-P1）3=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列如下表
解析
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵从装有10只球的口袋中每次从中摸出2个球有
摸出的球是同色的事件数是2
设仅一次摸球中奖的概率为P1，
则P1=
（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则
P2=
（Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-P1）3=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列如下表
在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放我市的甲、乙两种食品的合格率分别为90%和80%．
（1）今有三位同学聚会，若每人分别从两种食品中任意各取一件，求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率．
（2）若某消费者从两种食品中任意各购一件，设ξ表示购得不合格食品的件数，试求其数学期望．
正确答案
解：（1）P（ξ=2）=0.1×0.2=0.02
因为每人从两种食品中各取一件，两件恰好都是不合格食品的概率为0.02，所以三人分别从中各取一件，恰好有一人取到两件都是不合格品的事件，可看做三次独立重复试验问题．
所以P=C31（1-0.02）2×0.02≈0.0576
（2）因为ξ=0，1，2，
则有 P（ξ=0）=0.9×0.8=0.72
P（ξ=1）=（1-0.9）×0.8+0.9×（1-0.8）=0.26
P（ξ=2）=1-0.72-0.26=0.02
所以期望Eξ=0×0.72+1×0.26+2×0.02=0.30
所以答案问哦0.30
解析
解：（1）P（ξ=2）=0.1×0.2=0.02
因为每人从两种食品中各取一件，两件恰好都是不合格食品的概率为0.02，所以三人分别从中各取一件，恰好有一人取到两件都是不合格品的事件，可看做三次独立重复试验问题．
所以P=C31（1-0.02）2×0.02≈0.0576
（2）因为ξ=0，1，2，
则有 P（ξ=0）=0.9×0.8=0.72
P（ξ=1）=（1-0.9）×0.8+0.9×（1-0.8）=0.26
P（ξ=2）=1-0.72-0.26=0.02
所以期望Eξ=0×0.72+1×0.26+2×0.02=0.30
所以答案问哦0.30
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数-i，i，-2，2其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（1）求事件A“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率P（A）与事件B“在四次试验中，至少有两次得到虚数”的概率P（B）；
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a，b，求随机变量ξ=|a•b|的分布列与数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）∵卡片上分别标有数-i，i，-2，2其中i是虚数单位，
∴P（A）=
P（B）=1-P（
（2）a，b，ξ的可能取值如下表所示：
…（6分）
由表可知：P（ξ=1）=
∴随机变量ξ的分布列为
…（10分）
∴Eξ=1×+2×+4×= …（12分）
解析
解：（1）∵卡片上分别标有数-i，i，-2，2其中i是虚数单位，
∴P（A）=
P（B）=1-P（
（2）a，b，ξ的可能取值如下表所示：
…（6分）
由表可知：P（ξ=1）=
∴随机变量ξ的分布列为
…（10分）
∴Eξ=1×+2×+4×= …（12分）
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