- 二项式定理
- 共3480题
袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球后不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数ξ的分布列，并求出ξ的期望值和方差．
正确答案
解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5．
并且有
因此ξ的分布列是
Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3
Dξ=（1-3）2×0.2+（2-3）2×0.2+（3-3）2×0.2+（4-3）2×0.2+（5-3）2×0.2=2．
解析
解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5．
并且有
因此ξ的分布列是
Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3
Dξ=（1-3）2×0.2+（2-3）2×0.2+（3-3）2×0.2+（4-3）2×0.2+（5-3）2×0.2=2．
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，
则
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
（Ⅱ）因为甲能答对4道题，所以无论怎么选3道题甲至少答对1道题．
所以ξ=1，2，3
P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
由题知X的可能取值是1，2．
则X的分布列为
∴．
解析
解：（Ⅰ）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，
则
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
（Ⅱ）因为甲能答对4道题，所以无论怎么选3道题甲至少答对1道题．
所以ξ=1，2，3
P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
由题知X的可能取值是1，2．
则X的分布列为
∴．
（I）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
正确答案
解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，
解得x=0.0125．
（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，
∴1200×0.12=144．
∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．
（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=
因此X～B（4，
∴分布列为P（X=k）=
∴E（X）=4×
解析
解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，
解得x=0.0125．
（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，
∴1200×0.12=144．
∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．
（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=
因此X～B（4，
∴分布列为P（X=k）=
∴E（X）=4×
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=
（1）从中任意取2张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；
（2）在（1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数的概率；
（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶后寒素的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）f1（x）=x3为奇函数；f2（x）=5|x|为偶函数；f3（x）=2为偶函数；
f4（x）=
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
故所求概率为P=
（Ⅱ）∵
P═
（Ⅲ） P（ξ=1）=
故ξ的分布列为
E（ξ）=1×+4×=
解析
解：（Ⅰ）f1（x）=x3为奇函数；f2（x）=5|x|为偶函数；f3（x）=2为偶函数；
f4（x）=
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
故所求概率为P=
（Ⅱ）∵
P═
（Ⅲ） P（ξ=1）=
故ξ的分布列为
E（ξ）=1×+4×=
袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，则ξ的期望Eξ=______．
正确答案
解析
解：由题意知ξ可取0，1，2，
∵当ξ=0时，表示摸出两球中白球的个数为0，
当ξ=1时，表示摸出两球中白球的个数为1，
当ξ=2时，表示摸出两球中白球的个数为2，
∴依题意得 
∴
即摸出白球个数ξ的期望和方差分别是 
故答案为：
某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为
（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，
∵当X=0时表示四次射击都没有击中，
∴P（X=0）=
∵当X=1时表示四次射击击中一次，
P（X=1）=
∵当X=2时表示四次射击击中两次，
∴P（X=2）=
同理用独立重复试验概率公式得到X=3和X=4的概率，
∴X的分列为
（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
依题意知P（A1）=P（B1）=0.1，
P（A2）=P（B2）=0.3，
，
所求的概率为=
0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28
解析
解：（Ⅰ）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，
∵当X=0时表示四次射击都没有击中，
∴P（X=0）=
∵当X=1时表示四次射击击中一次，
P（X=1）=
∵当X=2时表示四次射击击中两次，
∴P（X=2）=
同理用独立重复试验概率公式得到X=3和X=4的概率，
∴X的分列为
（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
依题意知P（A1）=P（B1）=0.1，
P（A2）=P（B2）=0.3，
，
所求的概率为=
0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28
两名学生参加考试，随机变量x代表通过的学生数，其分布列为
那么这两人通过考试的概率最小值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设A学生通过考试的概率为p，B学生通过考试的概率为q．
则根据x=0和x=2时可得
∴
∴这两人通过考试的概率最小值为
故选：B．
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
正确答案
解：（1）X可能取值有-200，10，20，100．
则P（X=-200）=
P（X=10）=
P（X=20）=
P（X=100）=
故分布列为：
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1-．
由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（-200）×+10×+20××100=-=．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
解析
解：（1）X可能取值有-200，10，20，100．
则P（X=-200）=
P（X=10）=
P（X=20）=
P（X=100）=
故分布列为：
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1-．
由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（-200）×+10×+20××100=-=．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η=aξ-2，E（η）=1，则D（η）的值为______．
正确答案
11
解析
解：根据题意得出随机变量ξ的分布列：
E（ξ）=0×+4×=，
∵η=aξ-2，E（η）=1，
∴1=a×-2，
即a=2，
∴η=2ξ-2，E（η）=1，
D（ξ）=（）2+×（）2+×（2-）2+×（3-）2+×（4-）2=，
∵D（η）=4D（ξ）=4×=11．
故答案为：11
某单位举办抽奖活动，已知抽奖盒中装有“天府卡”和“熊猫卡”共10张．其中．天府卡”比“熊猫卡”数量多．抽奖规则是：参与者随机从盒中同时抽取两张卡片就完成一次抽奖，抽后放回．若抽到两张“熊猫卡，即可获奖，否则不获奖．已知一次抽奖中，抽到“天府卡”和“熊猫卡”各一张的概率是
（Ⅰ）求某人抽奖一次就中奖的概率；
（Ⅱ）现有3个人各抽奖一次，用X表示获奖的人数，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：设10张卡片中，“天府卡”有n张，则“熊猫卡”有10-n张，n＞10-n，
即n＞5，n∈N
由已知得出
解得n=7
（I）记“某人参与一次抽奖活动获奖”为事件A，
∴P（A）=
∴某人参与一次抽奖活动获奖的概率为
（II）根据题意X～B（3，
∴X的分布列为P（X=i）=
或
数学期望E（X）=np=3×=．
解析
解：设10张卡片中，“天府卡”有n张，则“熊猫卡”有10-n张，n＞10-n，
即n＞5，n∈N
由已知得出
解得n=7
（I）记“某人参与一次抽奖活动获奖”为事件A，
∴P（A）=
∴某人参与一次抽奖活动获奖的概率为
（II）根据题意X～B（3，
∴X的分布列为P（X=i）=
或
数学期望E（X）=np=3×=．
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