- 二项式定理
- 共3480题
某学生在高考前1个月买了一本数学《高考冲刺压轴卷》，每套试卷中有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确．评分标准是“每题仅选一个选项，选对得5分，不选或选错得零分”．假设该生在压轴卷（一）的选择题中确定能做对前6题，第7-9题每题只能排除两个选项是错误的，第10题完全不能理解题意，只能随意猜测．
（1）求该生选择题得满分的概率；
（2）设该学生选择题的得分为X，求X的分布列和数学期望EX，若该生要想每次选择题的平均得分不少于40分，这样才有更大的机会使整卷得到高分120分以上，问是否还应继续努力以提高正确率？
正确答案
解：（1）由题意，该学生必可答对前6道题得30分，其余4道题中有3道题目答对的概率是
记该生选择题得满分为事件M，则P（M）=
（2）X的所有可能取值是30，35，40，45，50．
P（X=30）=
P（X=35）=
P（X=40）=
P（X=45）=
P（X=50）=
所以X的分布列为
故EX=30×+35×+40×+45×+50×=38.75．
因为EX=38.75＜40，所以该学生还应继续努力以提高正确率．（12分）
解析
解：（1）由题意，该学生必可答对前6道题得30分，其余4道题中有3道题目答对的概率是
记该生选择题得满分为事件M，则P（M）=
（2）X的所有可能取值是30，35，40，45，50．
P（X=30）=
P（X=35）=
P（X=40）=
P（X=45）=
P（X=50）=
所以X的分布列为
故EX=30×+35×+40×+45×+50×=38.75．
因为EX=38.75＜40，所以该学生还应继续努力以提高正确率．（12分）
（1）求图中x，y的值（用小数表示）；
（2）从这40件产品中任取2件，用X表示重量超过505克的产品数量，求X的分布列及期望．
正确答案
解：（1）由题意，
∵（0.01+0.03+0.04+0.05+y）×5=1，∴y=0.07-----（4分）
（2）重量超过505克的产品数量为：40×（0.05×5+0.01×5）=12件，
所以重量未超过505克的产品数量为28件．-----（6分）
X的所有可能取值为0，1，2
所以X的分布列为
-----（10分）
随机变量X的数学期望为----（12分）
解析
解：（1）由题意，
∵（0.01+0.03+0.04+0.05+y）×5=1，∴y=0.07-----（4分）
（2）重量超过505克的产品数量为：40×（0.05×5+0.01×5）=12件，
所以重量未超过505克的产品数量为28件．-----（6分）
X的所有可能取值为0，1，2
所以X的分布列为
-----（10分）
随机变量X的数学期望为----（12分）
一个盒子里装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4；另一个盒子也装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量
η=x+y，
（1）求事x≤y发生的概率
（2）求η的分布列和数学期望．
正确答案
解析：（1）根据乘法原理得共有3×3种方法，满足x≤y共有8种方法，
故事件x≤y发生的概率P=
（2）依题意，可分别取η=5、6、7、8、9取，则有
P（η=5）=
∴η的分布列为 …（8分）
∴Eη=5×+6×+7×+8×+9×=7 …（10分）
解析
解析：（1）根据乘法原理得共有3×3种方法，满足x≤y共有8种方法，
故事件x≤y发生的概率P=
（2）依题意，可分别取η=5、6、7、8、9取，则有
P（η=5）=
∴η的分布列为 …（8分）
∴Eη=5×+6×+7×+8×+9×=7 …（10分）
徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为
（1）求该游客至多游览一座山的概率；
（2）用随机变量X表示该游客游览的山数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）记“该游客游览i座山”为事件Ai，i=0，1，
则
所以该游客至多游览一座山的概率为
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以X的概率分布为
故． …（10分）
解析
解：（1）记“该游客游览i座山”为事件Ai，i=0，1，
则
所以该游客至多游览一座山的概率为
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以X的概率分布为
故． …（10分）
一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体下底面上的数字分别为x1、x2，设O为坐标原点，点P的坐标为（x1-3，x2-3），记
（Ⅰ）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）掷出点数x可以是：1、2、3、4，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2．
则x-（3分）别得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）2的所有取值分别为：0、1、4．
因此ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
当x1=x2=1时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最大值8，
当x1=x2=3时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最小值0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
且
；
所以ξ的分布列为：
即ξ的期望．
解析
解：（Ⅰ）掷出点数x可以是：1、2、3、4，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2．
则x-（3分）别得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）2的所有取值分别为：0、1、4．
因此ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
当x1=x2=1时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最大值8，
当x1=x2=3时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最小值0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
且
；
所以ξ的分布列为：
即ξ的期望．
某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：
（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率；
（2）已知每件该商品的销售利润为1元，ξ表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为
（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为
ξ的可能值为400，500，600，700，且
P（ξ=400）=
P（ξ=600）=
ξ的分布列为
Eξ=400×+500×+600×+700×=（元）．
解析
解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为
（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为
ξ的可能值为400，500，600，700，且
P（ξ=400）=
P（ξ=600）=
ξ的分布列为
Eξ=400×+500×+600×+700×=（元）．
设随机变量ξ 满足Eξ=-1，Dξ=3，则E[3（ξ 2-2）]=（ ）
正确答案
解析
解：∵Dξ=E（ξ2）-[E（ξ）]2，Eξ=-1，Dξ=3，
∴E（ξ2）=3+（-1）2 =4．
再由性质：E（kξ）=kE（ξ），E（X+Y）=E（X）+E（Y）
得E[3（ξ 2-2）]=3E[（ξ2-2）]=3[E（ξ2）+E（-2）]=3（4-2）=6
故选B．
一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
（1）若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期E（ξ）；
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
正确答案
解：（1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则由题意可得P（A）=1-
故白球有5个．
②随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
由P（ξ=K）=
故E（ξ）=0+1×+2×+3×=．
（2）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=n，n≥5，n∈N．
记“从袋中任意摸2个球，至少有1个黑球”为事件B，
则 P（B）=====
=+≤=．
再根据至少得到1个白球的概率是，可得白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
解析
解：（1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则由题意可得P（A）=1-
故白球有5个．
②随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
由P（ξ=K）=
故E（ξ）=0+1×+2×+3×=．
（2）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=n，n≥5，n∈N．
记“从袋中任意摸2个球，至少有1个黑球”为事件B，
则 P（B）=====
=+≤=．
再根据至少得到1个白球的概率是，可得白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：
①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；
②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．
已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设事件A：“甲同学回答1正确”；B：“甲同学回答2正确”；C：“甲同学回答3正确”，则P（A）=
记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则P（D）=
（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．则
P（X=6）=
P（X=13）=
∴X的分布列为
数学期望EX=6×+7×+8×+12×+13×=．
解析
解：（1）设事件A：“甲同学回答1正确”；B：“甲同学回答2正确”；C：“甲同学回答3正确”，则P（A）=
记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则P（D）=
（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．则
P（X=6）=
P（X=13）=
∴X的分布列为
数学期望EX=6×+7×+8×+12×+13×=．
某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率P分布列如表所示：
且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：
（1）求m，n的值；
（2）求ξ1的分布列；
（3）若E（ξ1）＜E（ξ2）则选择投资乙项目，求此时P的取值范围．
正确答案
解：（1）由题意得：
解得：m=0.5，n=0.1．…（3分）
（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0．…（4分）
P（ξ2=41.2）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）
P（ξ2=117.6）=p[1-（1-p）+（1-p）（1-p）=p2+（1-p）2，…（7分）
P（ξ2=204.0）=p（1-p）．…（8分）
所以ξ2的分布列为：
…（9分）
（3）由（2）可得：E（ξ2）=41.2p（1-p）+117.6[p2+（1-p）2]+204.0p（1-p）
=-10p2+10p+117.6．…（11分）
因为E（ξ1）＜E（ξ2），
所以120＜-10p2+10p+117.6．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
解析
解：（1）由题意得：
解得：m=0.5，n=0.1．…（3分）
（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0．…（4分）
P（ξ2=41.2）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）
P（ξ2=117.6）=p[1-（1-p）+（1-p）（1-p）=p2+（1-p）2，…（7分）
P（ξ2=204.0）=p（1-p）．…（8分）
所以ξ2的分布列为：
…（9分）
（3）由（2）可得：E（ξ2）=41.2p（1-p）+117.6[p2+（1-p）2]+204.0p（1-p）
=-10p2+10p+117.6．…（11分）
因为E（ξ1）＜E（ξ2），
所以120＜-10p2+10p+117.6．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
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