二项式定理_章节学习

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题型：单选题

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单选题

如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（-1＜ξ≤1）等于（　　）

A2Φ（1）-1

BΦ（4）-Φ（2）

CΦ（2）-Φ（4）

DΦ（-4）-Φ（-2）

正确答案

B

解析

解：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，

故P（-1＜ξ≤1）=Φ（1-3）-Φ（-1-3）=Φ（-2）-Φ（-4）=Φ（4）-Φ（2）．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为2，4，6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）．

（Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；

（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

正确答案

解：（Ⅰ）设取出的小球中有相同编号的事件为A，编号相同可分成一个相同和两个相同-------（2分）

-----------（4分）

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：3，4，6----------（6分）

，----------------------（7分）

，----------------------（8分）

----------------------（9分）

所以随机变量X的分布列为：

----------------（10分）

所以随机变量X的数学期望．---------（12分）

解析

解：（Ⅰ）设取出的小球中有相同编号的事件为A，编号相同可分成一个相同和两个相同-------（2分）

-----------（4分）

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：3，4，6----------（6分）

，----------------------（7分）

，----------------------（8分）

----------------------（9分）

所以随机变量X的分布列为：

----------------（10分）

所以随机变量X的数学期望．---------（12分）

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题型：单选题

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单选题

设随机变量ξ的概率分布列为，k=1，2，3，4…6，其中c为常数，则P（ξ≤2）的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵，k=1，2，3，4…6，

∴c×（）=1，

解得c=，

∴P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）

=

=．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜）．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2：0暂时领先．

（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；

（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

正确答案

解：（Ⅰ）设甲队获胜为事件A，

则甲队获胜包括甲队以4：2获胜和甲队以4：3获胜两种情况．

设甲队以4：2获胜为事件A1，

则…（2分）

设甲队以4：3获胜为事件A2，

则…（4分）

∴…（6分）

（Ⅱ）随机变量X可能的取值为4，5，6，7．

…（7分）

…（8分）

…（9分）

…（10分）

（或者）

∴X的概率分布为：

…（12分）

解析

解：（Ⅰ）设甲队获胜为事件A，

则甲队获胜包括甲队以4：2获胜和甲队以4：3获胜两种情况．

设甲队以4：2获胜为事件A1，

则…（2分）

设甲队以4：3获胜为事件A2，

则…（4分）

∴…（6分）

（Ⅱ）随机变量X可能的取值为4，5，6，7．

…（7分）

…（8分）

…（9分）

…（10分）

（或者）

∴X的概率分布为：

…（12分）

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题型：简答题

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简答题

某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练统计数据，运动员小马完成甲系列和乙系列的情况如下表：

表1：甲系列表

2：乙系列

现运动员小马最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分．

（1）若运动员小马希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；

（2）若运动员小马选择乙系列，其成绩设为ξ，试写出ξ的分布列并求数学期望E（ξ）．

正确答案

解：（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．

理由如下：

选择甲系列最高得分为100+40=140＞115可能获得第一名，

而选择乙系列最高得分为90+20=110＜115，不可能获得第一名．

记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得4（0分）”为事件B，

则P（A）=，P（B）=，

记“该运动员获得第一名”为事件C，

依题意得P（C）=P（AB）+P（B）=×+×=．

∴运动员获得第一名的概率为，

（2）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，

则P（ξ=50）=×=，P（ξ=70）=×=，

P（ξ=90）=×=；P（ξ=110）=×=．

ξ的分布列为

∴E（ξ）=50×+70×+90×+110×=104．

解析

解：（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．

理由如下：

选择甲系列最高得分为100+40=140＞115可能获得第一名，

而选择乙系列最高得分为90+20=110＜115，不可能获得第一名．

记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得4（0分）”为事件B，

则P（A）=，P（B）=，

记“该运动员获得第一名”为事件C，

依题意得P（C）=P（AB）+P（B）=×+×=．

∴运动员获得第一名的概率为，

（2）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，

则P（ξ=50）=×=，P（ξ=70）=×=，

P（ξ=90）=×=；P（ξ=110）=×=．

ξ的分布列为

∴E（ξ）=50×+70×+90×+110×=104．

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题型：简答题

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简答题

在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．

（1）求该该考生答对试题数X的分布列及其期望；

（2）求该考生及格的概率；

（3）若答对一题得10分，答错一题-20分，求该考生总得分Y的期望．

正确答案

解：（1）X的可能取值为1，2，3，

P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，

∴X的分布列为：

期望E（X）=++；

（2）设该考生及格为事件A，

则P（A）=P（X=2）+P（X=3）=，

即该考生及格的概率为；

（3）Y=10X-20（3-X）=30X-60，

∴E（Y）=E（30X-60）=30E（X）-60=12．

解析

解：（1）X的可能取值为1，2，3，

P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，

∴X的分布列为：

期望E（X）=++；

（2）设该考生及格为事件A，

则P（A）=P（X=2）+P（X=3）=，

即该考生及格的概率为；

（3）Y=10X-20（3-X）=30X-60，

∴E（Y）=E（30X-60）=30E（X）-60=12．

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题型：简答题

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简答题

某考生参加2011年大学自主招生考试，面试时从两道数学题，一道物理题，一道化学题中任选两道回答，该考生答对每一道数学题、物理题、化学题的概率依次为0.9，0.8，0.7，

（1）求该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率；

（2）求该考生在这次面试中答对试题个数X的分布列和数学期望．

正确答案

解：（1）该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率

（2）X的可能取值为0，1，2

解析

解：（1）该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率

（2）X的可能取值为0，1，2

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题型：填空题

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填空题

某校4名同学利用假期到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每人只能选择一个社区且选择互不影响．

（Ⅰ）求每个社区都有同学选择的概率；

（Ⅱ）设随机变量ξ为4名同学中选择甲社区的人数，求ξ的分布列和数学期望．

正确答案

解析

解：（1）某校4名同学利用假期到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，

每人只能选择一个社区且选择互不影响．

∴共有34=81种结果，

∵每个社区都有同学选择；=36种，

∴每个社区都有同学选择的概率=；

（2）设随机变量ξ为4名同学中选择甲社区的人数为0，1，2，3，4，

P（ξ=0）=，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）==，

P（ξ=4）=，

数学期望：Eξ=0×+1×+2×+3×=，

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题型：简答题

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简答题

从2003年开始，我国就通过实行高校自主招生探索人才选拔制度改革，允许部分高校拿出一定比例的招生名额，选拔哪些有特殊才能的学生．某学生参加一个高校的自主招生考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A，B两个题目，该学生答对A，B两题的概率分别为，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对两个问题的概率均为，至少答对一题即可被录取．（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相对独立的）．

（I）求该学生被学校录取的概率；

（II）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

正确答案

解：（I）由题意记”答对A，B，甲，乙各题分别为事件A，B，C，D，

则P（A）=，P（B）=，P（C）=P（D）=，

由题意及事件之间为独立事件，故该学生被公司聘用的概率为：P（A•B）[1-P（）P（）]=××（1-× ）=；

（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，

P（ξ=0）=P（）=×=，

P（ξ=1）=P（B+A）=×+×=，

P（ξ=2）=P（AB）P（）=×××=，

P（ξ=3）=P（AB）P（C+D）=××2×=，

P（ξ=4）=P（AB）P（CD）=×××=，

∴ξ的分布列为

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=1

解析

解：（I）由题意记”答对A，B，甲，乙各题分别为事件A，B，C，D，

则P（A）=，P（B）=，P（C）=P（D）=，

由题意及事件之间为独立事件，故该学生被公司聘用的概率为：P（A•B）[1-P（）P（）]=××（1-× ）=；

（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，

P（ξ=0）=P（）=×=，

P（ξ=1）=P（B+A）=×+×=，

P（ξ=2）=P（AB）P（）=×××=，

P（ξ=3）=P（AB）P（C+D）=××2×=，

P（ξ=4）=P（AB）P（CD）=×××=，

∴ξ的分布列为

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=1

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题型：简答题

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简答题

某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．

（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；

（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x-y|≥10，则称此二

人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人的概率P1；

（Ⅲ）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出的3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ分布列及期望．

正确答案

解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10①x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10②由①②解得x=0.15，y=0.10（2分）

从而得出直方图（如图所示）

（3分）

M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5（4分）

（Ⅱ）依题意第四组人数为，故（6分）

（Ⅲ）依题意样本总人数为，成绩不低于120分人数为80×（0.05+0.10+0.15）=24（7分）

故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率为

又由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）=0.337，P（ξ=1）=0.450，P（ξ=2）=0.188，P（ξ=3）=0.025．

故ξ的分布列如下：

Eξ=0×0.337+1×0.450+2×0.188+3×0.025=0.901．（12分）

解析

解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10①x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10②由①②解得x=0.15，y=0.10（2分）

从而得出直方图（如图所示）

（3分）

M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5（4分）

（Ⅱ）依题意第四组人数为，故（6分）

（Ⅲ）依题意样本总人数为，成绩不低于120分人数为80×（0.05+0.10+0.15）=24（7分）

故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率为

又由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）=0.337，P（ξ=1）=0.450，P（ξ=2）=0.188，P（ξ=3）=0.025．

故ξ的分布列如下：

Eξ=0×0.337+1×0.450+2×0.188+3×0.025=0.901．（12分）

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