- 二项式定理
- 共3480题
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3），
则
∴该选手被淘汰的概率
=
=
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.
P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=
∴ξ的分布列为
∴=．
解析
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3），
则
∴该选手被淘汰的概率
=
=
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.
P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=
∴ξ的分布列为
∴=．
一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线．试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．
正确答案
解：由题意知本题是一个独立重复试验，根据公式可以得到变量的概率，
该时刻有ξ部电话占线，则变量的可能取值是0、1、2、3、4，
P（ξ=0）=0.52×0.62=0.09．
P（ξ=1）=C21×0.52×0.62+C21×0.52×0.4×0.6=0.3
P（ξ=2）=C22×0.52×0.62+C21C21×0.52×0.4×0.6+C22×0.52×0.42=0.37．
P（ξ=3）=C22C21×0.52×0.4×0.6+C21C22×0.52×0.42=0.2
P（ξ=4）=0.52×0.42=0.04
∴得到随机变量ξ的概率分布列为：
∴Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8．
解析
解：由题意知本题是一个独立重复试验，根据公式可以得到变量的概率，
该时刻有ξ部电话占线，则变量的可能取值是0、1、2、3、4，
P（ξ=0）=0.52×0.62=0.09．
P（ξ=1）=C21×0.52×0.62+C21×0.52×0.4×0.6=0.3
P（ξ=2）=C22×0.52×0.62+C21C21×0.52×0.4×0.6+C22×0.52×0.42=0.37．
P（ξ=3）=C22C21×0.52×0.4×0.6+C21C22×0.52×0.42=0.2
P（ξ=4）=0.52×0.42=0.04
∴得到随机变量ξ的概率分布列为：
∴Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8．
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y依题意得：
即
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
（Ⅱ）因为随机变量ξ表示测试结束后通过的人数，由题意可知ξ的所有可能值为：0，1，2，3，
并且P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
所以Eξ=
解析
解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y依题意得：
即
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
（Ⅱ）因为随机变量ξ表示测试结束后通过的人数，由题意可知ξ的所有可能值为：0，1，2，3，
并且P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
所以Eξ=
（I）若走L1，路线，求至少遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
正确答案
解：（I）设“至少遇到1次红灯”为事件A，其对立事件是没有遇到红灯．
则P（A）=1-
所以走L1路线，至少遇到1次红灯的概率为
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-
P（X=2）=
随机变量X的分布列为：
所以EX=0×+1×+2×=．
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～B（3，），
所以EY=3×=．
因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．
解析
解：（I）设“至少遇到1次红灯”为事件A，其对立事件是没有遇到红灯．
则P（A）=1-
所以走L1路线，至少遇到1次红灯的概率为
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-
P（X=2）=
随机变量X的分布列为：
所以EX=0×+1×+2×=．
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～B（3，），
所以EY=3×=．
因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．
甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是
（1）设事件A：“X=3且甲获得冠军”，求A的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设A1：甲恰胜2局；A2：和2局；
则P（A）=P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=
（2）X可能取得值为2，3，4
P（X=2）=
P（X=3）=3×
P（X=4）=
分布列为：
数学期望：．
解析
解：（1）设A1：甲恰胜2局；A2：和2局；
则P（A）=P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=
（2）X可能取得值为2，3，4
P（X=2）=
P（X=3）=3×
P（X=4）=
分布列为：
数学期望：．
（Ⅰ）估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数；
（Ⅱ）该市对机动车超速的处罚规定如下：时速超过限定速度10%以内的不罚款；超过限定速度10%（包括10%）以上不足20%的处100元罚款；超过限定速度20%（包括20%）以上不足50%的处200元罚款；…．设这一路段中任意一辆机动车被处罚款金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．（以被测的100辆机动车时速落入各组的频率作为该路段中任意一辆机动车时速落入相应组的概率）
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得，时速超过限定速度10%的时速为70×（1+10%）=77（km/h）
由频率分布直方图得，时速在[77，80）中的车辆数为0.020×10×100×
时速在[80，90）中的车辆数为0.004×10×100=4；
时速在[90，100）中的车辆数为0.002×10×100=2
∴估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数6+4+2=12；
（Ⅱ）由题意，超过限定速度20%的时速为70×（1+20%）=84（km/h）
超过限定速度50%的时速为70×（1+50%）=105（km/h）
因此，X的可能取值为0，100，200
P（X=0）=1-0.02-0.04-0.20×0.3=0.88
P（X=100）=0.2×0.3+0.04×0.4=0.076
P（X=200）=0.04×0.6+0.02=0.044
所以X的分布列为
X的数学期望为EX=100×0.076+200×0.044=16.4
解析
解：（Ⅰ）由题意得，时速超过限定速度10%的时速为70×（1+10%）=77（km/h）
由频率分布直方图得，时速在[77，80）中的车辆数为0.020×10×100×
时速在[80，90）中的车辆数为0.004×10×100=4；
时速在[90，100）中的车辆数为0.002×10×100=2
∴估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数6+4+2=12；
（Ⅱ）由题意，超过限定速度20%的时速为70×（1+20%）=84（km/h）
超过限定速度50%的时速为70×（1+50%）=105（km/h）
因此，X的可能取值为0，100，200
P（X=0）=1-0.02-0.04-0.20×0.3=0.88
P（X=100）=0.2×0.3+0.04×0.4=0.076
P（X=200）=0.04×0.6+0.02=0.044
所以X的分布列为
X的数学期望为EX=100×0.076+200×0.044=16.4
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求团体总分为4分的概率；
（3）记团体总分为随机变量§，求§的概率分布列．
正确答案
解：（1）设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2．…（1分）
因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：
解得P1=
答：乙闯关成功的概率为
（2）团体总分为（4分），即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关．
设“团体总分为（4分）”为事件A，则P（A）=
答：团体总分为（4分）的概率为
（3）§=0，2，4，6 （1分）
P（§=0）=
P（§=2）=
由（2）P（§=4）=
P（§=6）=
§的分布列为
…（12分）
解析
解：（1）设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2．…（1分）
因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：
解得P1=
答：乙闯关成功的概率为
（2）团体总分为（4分），即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关．
设“团体总分为（4分）”为事件A，则P（A）=
答：团体总分为（4分）的概率为
（3）§=0，2，4，6 （1分）
P（§=0）=
P（§=2）=
由（2）P（§=4）=
P（§=6）=
§的分布列为
…（12分）
已知正三棱锥S-ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．
（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；
（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有
其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有
∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=
（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，
由（Ⅰ）得：P（X=0）=
P（X=
P（X=
P（X=
P（X=
∴随机变量X的分布列为：
∴E（x）=．
解析
解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有
其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有
∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=
（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，
由（Ⅰ）得：P（X=0）=
P（X=
P（X=
P（X=
P（X=
∴随机变量X的分布列为：
∴E（x）=．
在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是
（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A、B、C，
则
故
（Ⅱ）由题意，X=0，1，2，
所以随机变量X的分布列为：
． …（10分）
解析
解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A、B、C，
则
故
（Ⅱ）由题意，X=0，1，2，
所以随机变量X的分布列为：
． …（10分）
（Ⅰ）求p、n的值；
（Ⅱ）现从这n页中随机抽取3页，用ξ表示标点符号个数在[60，70）的页数，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵p×10+0.03×10+0.04×10+0.02×10=1，
∴p=0.01，
∴标点符号个数在[30，40）的概率为0.1，
∴
∴n=10；
（Ⅱ）这10页中标点符号个数在[60，70）有10×0.2=2页，
又∵ξ的可能取值为0，1，2，
∴ξ的分布列如下：
∴期望．
解析
解：（Ⅰ）∵p×10+0.03×10+0.04×10+0.02×10=1，
∴p=0.01，
∴标点符号个数在[30，40）的概率为0.1，
∴
∴n=10；
（Ⅱ）这10页中标点符号个数在[60，70）有10×0.2=2页，
又∵ξ的可能取值为0，1，2，
∴ξ的分布列如下：
∴期望．
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