- 二项式定理
- 共3480题
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
正确答案
解：（1）由题意知年底可能获利30%，也可能亏损15%，
且这两种情况发生的概率分别为
若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，
∴ξ1的分布列为
∴
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：
∴
又
∴Eξ1=Eξ2，Dξ1＜Dξ2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：
两边取对数得：
∴大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番．
即建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．
解析
解：（1）由题意知年底可能获利30%，也可能亏损15%，
且这两种情况发生的概率分别为
若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，
∴ξ1的分布列为
∴
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：
∴
又
∴Eξ1=Eξ2，Dξ1＜Dξ2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：
两边取对数得：
∴大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番．
即建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．
今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：
（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；
（Ⅱ）从该市市民中随机抽取X位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或抽取的人数达到4位，则停止抽取，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）设“某市民还会购买本地家禽”为事件A，则p（A）=0.2．
设X表示“该市市民中随机抽取3位中还会购买本地家禽的人数”．
由二项分布可得P（X≥1）=1-P（X=0）=1-（1-0.2）3=0.488．
（II）由题意可知：X=2，3，4．
P（X=2）=0.22=0.04，P（X=3）=（1-0.2）×0.22=0.032，P（X=4）=1-P（X=2）-P（X=3）=1-0.04-0.032=0.928．
故E（X）=2×0.04+3×0.032+4×0.928=3.888．
解析
解：（I）设“某市民还会购买本地家禽”为事件A，则p（A）=0.2．
设X表示“该市市民中随机抽取3位中还会购买本地家禽的人数”．
由二项分布可得P（X≥1）=1-P（X=0）=1-（1-0.2）3=0.488．
（II）由题意可知：X=2，3，4．
P（X=2）=0.22=0.04，P（X=3）=（1-0.2）×0.22=0.032，P（X=4）=1-P（X=2）-P（X=3）=1-0.04-0.032=0.928．
故E（X）=2×0.04+3×0.032+4×0.928=3.888．
学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了4-1，4-2，4-3，4-4，4-5共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D是高三某班的4名学生．
（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生中选择4-4专题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，
∴恰有2门专题课程这4名学生都没选择的概率：P2=
（2）设A专题课程被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
分布列如下：
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．
解析
解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，
∴恰有2门专题课程这4名学生都没选择的概率：P2=
（2）设A专题课程被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
分布列如下：
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为
则P（B）=
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1-P（B）=
故至少有一种新产品研发成功的概率为
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
所以X的分布列如下：
则数学期望E（X）==140．
解析
解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为
则P（B）=
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1-P（B）=
故至少有一种新产品研发成功的概率为
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
所以X的分布列如下：
则数学期望E（X）==140．
（2015春•宁夏校级期末）设随机变量的分布列为下表所示且Eξ=1.6，则a-b=（ ）
正确答案
解析
解：由题意可得：0.1+a+b+0.1=1，
所以可得a+b=0.8①，
又因为Eξ=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6，
所以可得a+2b=1.3②，
由①②解得a=0.3，b=0.5，
∴a-b=-0.2，
故应选C．
（2012•顺庆区校级模拟）据相关调查数据统计，2012年某大城市私家车平均每天增加400辆，除此之外，公交车等公共车辆也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重．现有A、B、C三辆车从同一地点同时出发，开往甲、乙、丙三地，已知A、B、C这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为
（1）求这三辆车恰有两辆车被堵的概率；
（2）用ξ表示这三辆车中被堵的车辆数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意所求概率为：
（2）用ξ表示这三辆车中被堵的车辆数，则可能取值为0，1，2，3，
∴P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×
解析
解：（1）由题意所求概率为：
（2）用ξ表示这三辆车中被堵的车辆数，则可能取值为0，1，2，3，
∴P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×
某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
（Ⅰ）求此公司决定对该项目投资的概率；
（Ⅱ）记投票结果中“中立”票的张数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）此公司决定对该项目投资包括两种情况，
一是投票结果中有两张“同意”票，二是投票结果中三张“同意”票，
投票相互没有影响
∴此公司决定对该项目投资的概率为
P=C32（
（2）ξ的取值为0、1、2、3
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=1）=C31（
P（ξ=2）=C32（
P（ξ=3）=（
∴ξ的分布列为
∴Eξ=nP=3×
解析
解：（1）此公司决定对该项目投资包括两种情况，
一是投票结果中有两张“同意”票，二是投票结果中三张“同意”票，
投票相互没有影响
∴此公司决定对该项目投资的概率为
P=C32（
（2）ξ的取值为0、1、2、3
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=1）=C31（
P（ξ=2）=C32（
P（ξ=3）=（
∴ξ的分布列为
∴Eξ=nP=3×
已知随机变量ξ和η，其中η=10ξ+2，且E（η）=20，若ξ的分布列如下表，则m的值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵η=10ξ+2，∴E（η）=E（10ξ+2）=10E（ξ）+2=20，∴E（ξ）=
又E（ξ）=1×
由①②联立方程组，解得m=
故选：A
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望．
正确答案
解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意知，
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是
（2）由题意知
整理得 mn=
由m＞n，解得
（3）由题意知
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
∴ξ的数学期望为Eξ=
解析
解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意知，
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是
（2）由题意知
整理得 mn=
由m＞n，解得
（3）由题意知
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
∴ξ的数学期望为Eξ=
某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ等于（ ）
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，
当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生
∴
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴
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