- 二项式定理
- 共3480题
（I）已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；
（II）若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．
正确答案
解：（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，…（3分）
设“甲在第二环节中奖”为事件A，则事件A包含的基本事件有（3，1），（3，3），共2个，
∴P（A）=
（Ⅱ）设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X元，则X的可能取值为0，1000，10000．…（7分）
P（X=0）=
∴X的分布列为
…（11分）
∴EX=0×+1000×+10000×=3． …（12分）
解析
解：（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，…（3分）
设“甲在第二环节中奖”为事件A，则事件A包含的基本事件有（3，1），（3，3），共2个，
∴P（A）=
（Ⅱ）设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X元，则X的可能取值为0，1000，10000．…（7分）
P（X=0）=
∴X的分布列为
…（11分）
∴EX=0×+1000×+10000×=3． …（12分）
售价为2元的某种彩票的中奖概率如下：
（Ⅰ）某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元的概率为多少？
（Ⅱ）某人花4元买两张该种彩票，记获利为X元，求X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记“某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元”为事件A，可知事件A有三种情况：第一种中奖金额为0，0，8；第二种中奖金额为2，2，4；第三种中奖金额位0，4，4，则
P（A）=
（Ⅱ）某人花4元买两张该种彩票，记获利为X元，取值分别为-4，-2，0，2，4，6，8，12，则
P（X=-4）=
P（X=0）=
P（X=4）=
P（X=8）=
∴X的分布列为
数学期望EX=（-4）×0.49+（-2）×0.28+2×0.032+4×0.0344+6×0.008+8×0.0032+12×0.0004=-2.24
解析
解：（Ⅰ）记“某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元”为事件A，可知事件A有三种情况：第一种中奖金额为0，0，8；第二种中奖金额为2，2，4；第三种中奖金额位0，4，4，则
P（A）=
（Ⅱ）某人花4元买两张该种彩票，记获利为X元，取值分别为-4，-2，0，2，4，6，8，12，则
P（X=-4）=
P（X=0）=
P（X=4）=
P（X=8）=
∴X的分布列为
数学期望EX=（-4）×0.49+（-2）×0.28+2×0.032+4×0.0344+6×0.008+8×0.0032+12×0.0004=-2.24
甲、乙两个盒子中装有大小形状完全相同的球，其中甲盒中有2个红球和1个白球，乙盒中有1个红球和2个白球，若从甲盒中取出2个球、乙盒中取出1个球，设取出的3个球中红球的个数为ξ，则E（ξ）=______．
正确答案
解析
解：由题意可知：ξ=1，2，3．
P（ξ=1）=
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
∴E（ξ）=
故答案为
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
由于从10件产品中任取3件的结果为C103，
从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73-k，
那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望EX=
（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1
“恰好取出2件一等品“为事件A2，
”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，
且A=A1∪A2∪A3而，
P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=
解析
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
由于从10件产品中任取3件的结果为C103，
从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73-k，
那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望EX=
（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1
“恰好取出2件一等品“为事件A2，
”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，
且A=A1∪A2∪A3而，
P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=
已知某随机变量X的分布列如下（p，q∈R）：
且X的数学期望
正确答案
解析
解：∵X的数学期望
∴
∴p=
∴X的方差D（X）=
故答案为：
某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差．
正确答案
解：（Ⅰ）该选手在复赛阶段被淘汰包括通过初赛，不能通过复赛，这两个事件是相互独立的，
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，
“该选手通过决赛”为事件C，
则
根据相互独立事件的概率得到
该选手在复赛阶段被淘汰的概率是
（Ⅱ）该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3
∴ξ的数学期望
ξ的方差
解析
解：（Ⅰ）该选手在复赛阶段被淘汰包括通过初赛，不能通过复赛，这两个事件是相互独立的，
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，
“该选手通过决赛”为事件C，
则
根据相互独立事件的概率得到
该选手在复赛阶段被淘汰的概率是
（Ⅱ）该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3
∴ξ的数学期望
ξ的方差
（Ⅰ）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率；
（Ⅱ）从样本成绩在[50，60）和[60，70）这两组中共随机抽取2名同学，求抽取的2名同学中不及格（成绩＜60分）的人数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得：[70，80）的频率：0.030×10=0.30
所以，n=15÷0.30=50∴第四组[80，90）的频数：0.024×10×50=12；
第五组[90，100]的频数：0.016×10×50=8；
所以，样本中优秀的试卷份数为20，样本的优秀率=
∴估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率为40%；
（Ⅱ）第一组[50，60）的频数：0.01×10×50=5；
第二组[60，70）的频数：0.018×10×50=9；ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得
∴ξ的分布列为：
∴．
解析
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得：[70，80）的频率：0.030×10=0.30
所以，n=15÷0.30=50∴第四组[80，90）的频数：0.024×10×50=12；
第五组[90，100]的频数：0.016×10×50=8；
所以，样本中优秀的试卷份数为20，样本的优秀率=
∴估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率为40%；
（Ⅱ）第一组[50，60）的频数：0.01×10×50=5；
第二组[60，70）的频数：0.018×10×50=9；ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得
∴ξ的分布列为：
∴．
在甲、乙等6个单位参加的一次演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…6），则甲、乙两单位之间的演出单位个ξ的期望=______．
正确答案
解析
解：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，
且 
从而知ξ有分布列
所以，．
故答案为：．
某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为
（Ⅰ）求该小组中女生的人数：
（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的概率均为
正确答案
解：（Ⅰ）设该小组中有n个女生，
由题意，得
解得n=6或n=4（舍），
所以该小组有6名女生；
（Ⅱ）由题意，X的取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
所以X的分布列为：
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×=
解析
解：（Ⅰ）设该小组中有n个女生，
由题意，得
解得n=6或n=4（舍），
所以该小组有6名女生；
（Ⅱ）由题意，X的取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
所以X的分布列为：
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×=
一次考试共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有5道题的答案是正确的，其余题中：有一道题可以判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）设所得分数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余三道题中，可以判断两个选项是错误的概率为
所以，得40分的概率为P=
（2）依题意，该考生得分X的取值是25，30，35，40，则
P（X=25）=
P（X=30）=
P（X=35）=
P（X=40）=
所以X的分布列为：
数学期望EX=25×+30×+35×+40×=．
解析
解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余三道题中，可以判断两个选项是错误的概率为
所以，得40分的概率为P=
（2）依题意，该考生得分X的取值是25，30，35，40，则
P（X=25）=
P（X=30）=
P（X=35）=
P（X=40）=
所以X的分布列为：
数学期望EX=25×+30×+35×+40×=．
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