- 二项式定理
- 共3480题
开学初，小源到建设银行营业网点兑换了此前在网上预约的中国高铁纪念币。这枚纪念币由中国人民银行发行，面额10元，每人限兑20枚，且需要提前预约。小源打算与班上同学分享自己的喜悦。他可以向大家这样介绍
①纪念币面额和实际购买力都是由中国人民银行规定的
②纪念币可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能
③纪念币发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间
④纪念币不能与同面额人民币等值流通，必须在规定时间地点使用
正确答案
解析
①错误，国家无权规定纪念币的实际购买力；④错误，纪念币与同面额人民币等值流通，在任何时间地点都可使用；由中国人民银行发行的纪念币属于法定货币，可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能，因其发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间，故②③正确。
知识点
赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1-Eξ2=______（元）．
正确答案
0.2
解析
解：赌金的分布列为
所以 Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，
奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，
则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==
所以 Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，
则 Eξ1-Eξ2=3-2.8=0.2元．
故答案为：0.2
已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I） 3名学生选择的选修课所有不同选法有43=64种； …（2分）
各人互不相同的选法有
（II） 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，…（5分）
P（x=0）=
所以X的分布列为
…（10分）
数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
解析
解：（I） 3名学生选择的选修课所有不同选法有43=64种； …（2分）
各人互不相同的选法有
（II） 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，…（5分）
P（x=0）=
所以X的分布列为
…（10分）
数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
①租用时间不超过1小时，免费；
⑦租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间超过3小时，按每小时扣2 分收费（不足1小时的部分按1小时计算）．
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）根据题意，得下表，其中t表示租用时间（单位：小时）：
分别记“甲扣0、1、2分”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，且P（A1）=0.5，P（A2）=0.4，P（A3）=0.1
分别记“乙扣0、1、2分”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，且P（B1）=0.6，P（B2）=0.2，P（B3）=0.2
由题知，A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立，…（2分）
记甲、乙两人所扣积分相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3
所以P（M）=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4…（4分）
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3，4…（5分）
P（ξ-0）=0.5×0.6=0.3，P（ξ=1）=0.5×0.2+0.4×0.6=0.34，P（ξ=2）=0.5×0.2+0.4×0.2+0.1×0.6=0.24，
P（ξ=3）=0.4×0.2+0.1×0.2=0.1，P（ξ=4）=0.1×0.2=0.02…（8分）
所以ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2…（11分）
答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.4，ξ的数学期望为1.2…（12分）
解析
解：（1）根据题意，得下表，其中t表示租用时间（单位：小时）：
分别记“甲扣0、1、2分”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，且P（A1）=0.5，P（A2）=0.4，P（A3）=0.1
分别记“乙扣0、1、2分”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，且P（B1）=0.6，P（B2）=0.2，P（B3）=0.2
由题知，A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立，…（2分）
记甲、乙两人所扣积分相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3
所以P（M）=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4…（4分）
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3，4…（5分）
P（ξ-0）=0.5×0.6=0.3，P（ξ=1）=0.5×0.2+0.4×0.6=0.34，P（ξ=2）=0.5×0.2+0.4×0.2+0.1×0.6=0.24，
P（ξ=3）=0.4×0.2+0.1×0.2=0.1，P（ξ=4）=0.1×0.2=0.02…（8分）
所以ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2…（11分）
答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.4，ξ的数学期望为1.2…（12分）
从正方体的各表面对角线中随机取两条．
（1）互相平行的直线共有______对；
（2）这两条表面对角线所成角的度数的数学期望为______（用弧度表示）．
正确答案
6
解析
解：（1）在正方体中，每一个面内的与其对着的面内的对角线平行，这样就有6对；
（2）由题意知ξ=0，
P（ξ=0）=
P（ξ=
P（ξ=
∴ξ的分布列为：
故Eξ=0×++=．
某市举行一次数学新课程骨干培训活动，共邀请15名使用不同版本教材的数学教师，具体情况数据如下表所示：
现从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的女教师的概率是
（1）求实数a，b的值
（2）培训活动现随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）从15名教师中随机选出2名共C
又∵a+b=5，且a＞b，解得a=3，b=2
（2）由题意得ξ=0，1，2
故ξ的分布列为
故数学期望
解析
解：（1）从15名教师中随机选出2名共C
又∵a+b=5，且a＞b，解得a=3，b=2
（2）由题意得ξ=0，1，2
故ξ的分布列为
故数学期望
有一个3×3×3的正方体，它的六个面上均涂上颜色．现将这个长方体锯成27个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个．
（Ⅰ）设小正方体涂上颜色的面数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到只有一个面涂有颜色的小正方体的次数为η．求η的数学期望．
正确答案
解：（I）由题意可得：ξ可能取的值为：0，1，2，3，
则有P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望Eξ=．
（II）根据题意可得：离散型随机变量η服从二项分布，即η～B（6，），
所以根据公式Eη=np=6×=．
解析
解：（I）由题意可得：ξ可能取的值为：0，1，2，3，
则有P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望Eξ=．
（II）根据题意可得：离散型随机变量η服从二项分布，即η～B（6，），
所以根据公式Eη=np=6×=．
在2014年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；
（Ⅱ）试用统计知识分析比较两考生的通过能力．
正确答案
解析：（I）设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=
∴考生甲正确完成题数的分布列为
Eξ=1×+2×+3×=2．…..（4分）
又η～B（3，），其分布列为P（η=k）=•（）k•（）3-k，k=0，1，2，3；
∴Eη=np=3×=2．…（6分）
（II）∵Dξ=（2-1）2×+（2-2）2×+（2-3）2×=，
Dη=npq=3××=，∴Dξ＜Dη．…..（8分）
∵P（ξ≥2）=+=0.8，P（η≥2）=+≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）． …（10分）
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．…（12分）
解析
解析：（I）设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=
∴考生甲正确完成题数的分布列为
Eξ=1×+2×+3×=2．…..（4分）
又η～B（3，），其分布列为P（η=k）=•（）k•（）3-k，k=0，1，2，3；
∴Eη=np=3×=2．…（6分）
（II）∵Dξ=（2-1）2×+（2-2）2×+（2-3）2×=，
Dη=npq=3××=，∴Dξ＜Dη．…..（8分）
∵P（ξ≥2）=+=0.8，P（η≥2）=+≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）． …（10分）
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．…（12分）
某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．
（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．
正确答案
解：（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为Ai，B车在星期i出车的事件为Bi，i=1，2，3，4，5，则
由已知可得P（Ai）=0.6，P（Bi）=0.5．
设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则
P（C）=P（
∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=P（A1B1）P（A2）=0.6×0.5×0.6=0.18，
∴X的分布列为
EX=1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7．
解析
解：（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为Ai，B车在星期i出车的事件为Bi，i=1，2，3，4，5，则
由已知可得P（Ai）=0.6，P（Bi）=0.5．
设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则
P（C）=P（
∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=P（A1B1）P（A2）=0.6×0.5×0.6=0.18，
∴X的分布列为
EX=1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7．
（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？
（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．
①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求它的分布列及其数学期望E（S）．
正确答案
解：（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4×3×2×2=48种
（2）①设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
如图二，当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种．（由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A53+2
②随机变量ξ的分布列为：
所以，E（ξ）=
解析
解：（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4×3×2×2=48种
（2）①设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
如图二，当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种．（由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A53+2
②随机变量ξ的分布列为：
所以，E（ξ）=
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