- 二项式定理
- 共3480题
马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=______．
正确答案
2
解析
解：设P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，
则2a+b=1，
Eξ=a+2b+3a=2（2a+b）=2，
故答案为2．
从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．
（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率P1与两次摸球后结束试验的概率P2；
（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）一次摸球结束试验，即摸出红球，故概率
二次摸球结束试验，先摸出白球，再摸出红球故概率P2=
（Ⅱ）依题意得：ξ的所有可能值有1，2，3，4
∴Eξ=．
解析
解：（Ⅰ）一次摸球结束试验，即摸出红球，故概率
二次摸球结束试验，先摸出白球，再摸出红球故概率P2=
（Ⅱ）依题意得：ξ的所有可能值有1，2，3，4
∴Eξ=．
某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得X的频率分布直方图．工资薪金个人所得税税率表如表所示．表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分（3500元为个税起征点，不到3500元不缴税）．工资个税的计算公式为：“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”．
例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为5500-3500=2000元，应纳税额为2000×10%-105=95（元）
在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率作为x取该区间中点值的概率．
（Ⅰ）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；
（Ⅱ）设该市居民每月从工资薪金所得交完税后，剩余的为其月可支配额y（元），试求该市居民月可支配额y的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000，5000，7000，9000，11000，
x取这些值的概率依次为0.15，0.3，0.4，0.1，0.05，
算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0，1500，3500，5500，7500（元），
按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元），1500×3%-0=45（元），
3500×10%-105=245（元），5500×20%-555=545（元），7500×20%-555=945（元）；
∴该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款为：
（45×0.3+245×0.4+545×0.1+945×0.05）×106=2.1325×108（元）；
（Ⅱ）这5组居民月可支配额y取的值分别是y1，y2，y3，y4，y5
y1=3000（元）；y2=5000-45=4955（元）；y3=7000-245=6755（元）；
y4=9000-545=8455（元）；y5=11000-945=10055（元）；
∴y的分布列为：
∴该市居民月可支配额的数学期望为：
Ey=3000×0.15+4955×0.3+6755×0.4+8455×0.1+10055×0.05=5986.75（元）．
解析
解：（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000，5000，7000，9000，11000，
x取这些值的概率依次为0.15，0.3，0.4，0.1，0.05，
算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0，1500，3500，5500，7500（元），
按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元），1500×3%-0=45（元），
3500×10%-105=245（元），5500×20%-555=545（元），7500×20%-555=945（元）；
∴该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款为：
（45×0.3+245×0.4+545×0.1+945×0.05）×106=2.1325×108（元）；
（Ⅱ）这5组居民月可支配额y取的值分别是y1，y2，y3，y4，y5
y1=3000（元）；y2=5000-45=4955（元）；y3=7000-245=6755（元）；
y4=9000-545=8455（元）；y5=11000-945=10055（元）；
∴y的分布列为：
∴该市居民月可支配额的数学期望为：
Ey=3000×0.15+4955×0.3+6755×0.4+8455×0.1+10055×0.05=5986.75（元）．
甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．
（Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；
（Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．
设从抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3．
事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3），共10种可能；
事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），共7种可能．
故所求概率为P=0.7；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，则P（X=i）=
X的分布列为
X的期望为E（X）=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1
解析
解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．
设从抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3．
事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3），共10种可能；
事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），共7种可能．
故所求概率为P=0.7；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，则P（X=i）=
X的分布列为
X的期望为E（X）=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1
高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分．按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）如果想了解全年级学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由；
（4）学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人，分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查，检查他们是否躲优秀的相4名检查人员各自纖立的舰20学生中随机抽取一名，设其中男生的人数为随机变量x，求随机变量x的分布列期望．
正确答案
解：（1）提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则
P（K2＞2.706）=0.10，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测试结果有关系”．
（2）有（1）可知性别很有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度总体表现情况会比较符合实际情况；
（3）四名抽查人员，从20名学生中随即抽取一名是男生的概率是P=
∴
P（X=3）=
p（X=4）=
∴随机变量X的分布列为：
∵随机变量X服从二项分布X：B（4，）
∴EX=np=4×．
解析
解：（1）提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则
P（K2＞2.706）=0.10，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测试结果有关系”．
（2）有（1）可知性别很有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度总体表现情况会比较符合实际情况；
（3）四名抽查人员，从20名学生中随即抽取一名是男生的概率是P=
∴
P（X=3）=
p（X=4）=
∴随机变量X的分布列为：
∵随机变量X服从二项分布X：B（4，）
∴EX=np=4×．
在2014年教师节来临之际，某学校计划为教师颁发一定的奖励，该学校计划采用说课评价与讲课评价相结合的方式来决定教师获得奖励的等级．已知说课评价和讲课评价的成绩都分为1分，2分，3分，4分，5分，共5个等级．所有教师说课评价与讲课评价成绩的频率分布情况如图所示（参加评价的每个教师两种评价都参加了），其中讲课评价成绩为5分的有12人．
（1）求该学校参加评价活动的教师总人数；
（2）若在说课评价为2分的教师中，讲课评价也为2分的有4人，其余讲课评价均为3分．若从说课评价为2分的教师中选取2人进行座谈，求这2人说课评价与讲课评价总分的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）讲课评价中成绩为5分的概率为1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075，
故该学校参加评价活动的教师总数为
（2）由条件可知，说课评价为2分的教师的频率为1-0.200-0.375-0.250-0.075=0.1，
故说课评价为2分的教师数为160×0.1=16人．
由条件可知，这16人中总分为4分的有4人，总分为5分的有12人．
设从这16人中任选2人，得分总和为X，则X的可能值为8分，9分，10分．
则
则X的分布列为：
数学期望E（X）=．
解析
解：（1）讲课评价中成绩为5分的概率为1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075，
故该学校参加评价活动的教师总数为
（2）由条件可知，说课评价为2分的教师的频率为1-0.200-0.375-0.250-0.075=0.1，
故说课评价为2分的教师数为160×0.1=16人．
由条件可知，这16人中总分为4分的有4人，总分为5分的有12人．
设从这16人中任选2人，得分总和为X，则X的可能值为8分，9分，10分．
则
则X的分布列为：
数学期望E（X）=．
某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率分别是
正确答案
解：随机变量X取1.2.3
P（x=1）=
P（x=2）=
P（x=3）=1-
∴随机变量X的分布列是
∴X的均值为Ex=
解析
解：随机变量X取1.2.3
P（x=1）=
P（x=2）=
P（x=3）=1-
∴随机变量X的分布列是
∴X的均值为Ex=
某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为
（Ⅰ）若高三获得冠军概率为
（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．
高三胜两场的概率为
三个队各胜一场的概率为
∴
解得：
（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，
P（X=0）=
∴X的分布列为：
故X的期望E（X）=．
解析
解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．
高三胜两场的概率为
三个队各胜一场的概率为
∴
解得：
（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，
P（X=0）=
∴X的分布列为：
故X的期望E（X）=．
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数．
（1）求ξ的取值范围；
（2）求ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则
可得：当m=1，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6，n=1或m=1，n=6时，ξ=7；
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值为：5，7，9．
（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由题意知ξ的所有可能取值为：5，7，9．
根据独立重复试验的概率公式得到
P（ξ=5）=2×
P（ξ=7）=2
P（ξ=9）=1-
∴Eξ=5×
解析
解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则
可得：当m=1，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6，n=1或m=1，n=6时，ξ=7；
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值为：5，7，9．
（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由题意知ξ的所有可能取值为：5，7，9．
根据独立重复试验的概率公式得到
P（ξ=5）=2×
P（ξ=7）=2
P（ξ=9）=1-
∴Eξ=5×
设随机变量X的分布列为：
若
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，
故选A．
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