- 二项式定理
- 共3480题
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：
故X的分布列为：
E（X）=3×=．
解析
解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：
故X的分布列为：
E（X）=3×=．
某人一次投篮的成功率为
正确答案
解析
解：设他在10次投篮中投中的次数为ξ，据题意
ξ～B（10，
∴投中次数的方差为Dξ=
故答案为：
某种家用电器的销售利润与该电器的无故障使用时间有关．每台这种家用电器，若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元；若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元．己知每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年的概率为
（Ⅰ） 求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）设“函数
正确答案
解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）=
P（ξ=100）=2×
P（ξ=200）=2×
P（ξ=300）=2×
P（ξ=400）=
随机变量ξ的分布列为
所求的数学期望为Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240（元）
所以随机变量ξ的数学期望为240元．
（Ⅱ）∵函数在区间（2，3）上有且只有一个零点，且对称轴
∴得，
于是ξ=200，
∴因此事件A发生的概．
解析
解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）=
P（ξ=100）=2×
P（ξ=200）=2×
P（ξ=300）=2×
P（ξ=400）=
随机变量ξ的分布列为
所求的数学期望为Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240（元）
所以随机变量ξ的数学期望为240元．
（Ⅱ）∵函数在区间（2，3）上有且只有一个零点，且对称轴
∴得，
于是ξ=200，
∴因此事件A发生的概．
自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．
经调查发现，堵车概率x在（
在不堵车的情况下．走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．
（1）求CD段平均堵车时间a的值．
（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．
（3）在（2）的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望．
正确答案
（2）设走线路甲所花汽油费为ξ元，则Eξ=500（1-x）+（500+60）x=500+60x，
设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF段、GH段堵车与否相互独立，
∴
∴走乙线路所花汽油费的数学期望为E（545+η）=545+Eη=550+40y，
依题意选择走甲线路应满足（550+40y）-（500+60x）≥0，
选择走甲线路的概率为图中阴影部分的面积与整个矩形面积之比，
即矩形的面积减去小直角三角形的面积的差除以矩形面积，
∴P（走路甲）=
（3）二项分布EX=4×
解析
（2）设走线路甲所花汽油费为ξ元，则Eξ=500（1-x）+（500+60）x=500+60x，
设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF段、GH段堵车与否相互独立，
∴
∴走乙线路所花汽油费的数学期望为E（545+η）=545+Eη=550+40y，
依题意选择走甲线路应满足（550+40y）-（500+60x）≥0，
选择走甲线路的概率为图中阴影部分的面积与整个矩形面积之比，
即矩形的面积减去小直角三角形的面积的差除以矩形面积，
∴P（走路甲）=
（3）二项分布EX=4×
设X是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A1
B1±
C1-
D1+
正确答案
解析
解：由分布列的性质得
∴q=1-
故选C
将4份文件放入3个盒子中，随机变量X表示盒子中恰有文件的盒子个球，则E（X）=______．
正确答案
解析
解：X的所有可能取值为1，2，3．
X=1表示1个盒子都有文件，则3个盒子里的文件数分别为0，0，4，
则P（X=1）=
X=2表示2个盒子有文件，则3个盒子里的文件数分别为0，1，3，或0，2，2，
则P（X=2）=
X=3，表示3个盒子都有文件，则3个盒子里的文件数分别为1，1，2，
则P（X=3）
∴X的分布列为
∴EX=1×+2×+3×==．
故答案为：．
已知从A地去B地有甲、乙两条路可走，汽车走甲路堵车的概率为
（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率；
（2）求这四辆汽车被堵的车辆数X的概率分布和数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 
（2）这四辆汽车被堵的车辆数X的概的取值为 0，1，2，3，4，
P（X=0）=
P（X=2）=
P（X=4）=
∴X的概率分布为
∴EX=0×+1×+3×+4×=．
解析
解：（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为
（2）这四辆汽车被堵的车辆数X的概的取值为 0，1，2，3，4，
P（X=0）=
P（X=2）=
P（X=4）=
∴X的概率分布为
∴EX=0×+1×+3×+4×=．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；
（Ⅱ）记ξ表示两天空气中空气质量为二级的天数．求ξ的分布列及期望．
正确答案
解：（ I）由茎叶图可知：6天中有2天空气质量超标，4天不超标，
故恰好有一天超标的概率为
（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，
可得
故分布列如下表：
∴期望值（天）
方法二：ξ服从参数为N=2，M=3，n=2的超几何分布，
∴（天）
解析
解：（ I）由茎叶图可知：6天中有2天空气质量超标，4天不超标，
故恰好有一天超标的概率为
（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，
可得
故分布列如下表：
∴期望值（天）
方法二：ξ服从参数为N=2，M=3，n=2的超几何分布，
∴（天）
一次数学考试中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已经确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有两道可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因完全不会做只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）所得分数ξ的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）得分为50，10道题必须全做对．有2道题答对的概率为
所以得分为50分的概率为：
（2）依题意，该考生得分的范围为{35，40，45，50}．
得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，
所以概率为 
得分为40分的概率为：
同理求得得分为45分的概率为：
得分为50分的概率为：
所以得分ξ的分布列为：
数学期望
解析
解：（1）得分为50，10道题必须全做对．有2道题答对的概率为
所以得分为50分的概率为：
（2）依题意，该考生得分的范围为{35，40，45，50}．
得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，
所以概率为
得分为40分的概率为：
同理求得得分为45分的概率为：
得分为50分的概率为：
所以得分ξ的分布列为：
数学期望
（2015春•宿迁期末）在一个口袋中装有红、黄、率、蓝、黑、白6种不同颜色的球，每种颜色的球均超过3个，这些球除颜色外完全相同，
（1）若一次从中摸出3个球，求共有多少种不同的选法？
（2）若一次从中摸出3个球，试列出含有红球个数ξ的分布列，并计算其数学期望．
正确答案
解；（1）按颜色分类：3种颜色，2种颜色，1种颜色，
3种颜色的有：
∴一次从中摸出3个球，共有56种不同的选法．
（2）含有红球个数ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）
P（ξ=3）=
E（ξ）=×=．
解析
解；（1）按颜色分类：3种颜色，2种颜色，1种颜色，
3种颜色的有：
∴一次从中摸出3个球，共有56种不同的选法．
（2）含有红球个数ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）
P（ξ=3）=
E（ξ）=×=．
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