- 二项式定理
- 共3480题
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；
（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）
（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．
则X的所有取值可能为0，1，2，3.
P（X=2）=
∴随机变量X的分布列为
∴E（X）==1．
解析
解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）
（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．
则X的所有取值可能为0，1，2，3.
P（X=2）=
∴随机变量X的分布列为
∴E（X）==1．
某班10名同学在一次测试中英语和法语成绩（单位：分）如图所示：
（1）比较哪门课程的平均成绩更高；
（2）计算10名同学法语成绩的样本方差；
（3）计算两门功课成绩相差不超过10分的概率．
正确答案
解：（1）法语平均成绩=
英语平均成绩=
∴英语平均成绩更高．
（2）10名同学法语成绩的样本方差=
（3）设“两门功课成绩相差不超过10分”为事件A，则10名同学中的只有2位同学满足条件：（58，68），（46，38）．
∴P（A）=
解析
解：（1）法语平均成绩=
英语平均成绩=
∴英语平均成绩更高．
（2）10名同学法语成绩的样本方差=
（3）设“两门功课成绩相差不超过10分”为事件A，则10名同学中的只有2位同学满足条件：（58，68），（46，38）．
∴P（A）=
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程
分别为事件Ai，Bi，Cii=1，2，3．
由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，
C1，C2，C3相互独立，
且P（Ai）=
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=A33P（A1B2C3=
（2）记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件Di，i=1，2，3．
D1，D2，D3相互独立，且P（Di）=P（Ai+Ci）=P（Ai）+P（Ci）=
∴ξ～B（3，
∴ξ的分布列是
∴Eξ==2
解析
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程
分别为事件Ai，Bi，Cii=1，2，3．
由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，
C1，C2，C3相互独立，
且P（Ai）=
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=A33P（A1B2C3=
（2）记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件Di，i=1，2，3．
D1，D2，D3相互独立，且P（Di）=P（Ai+Ci）=P（Ai）+P（Ci）=
∴ξ～B（3，
∴ξ的分布列是
∴Eξ==2
8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球，记取出白球的个数为X．
（1）求X的分布列；
（2）求
正确答案
解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2，3，4，则有
由此X的分布列为：
…（3分）
（2）=
…（6分）
解析
解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2，3，4，则有
由此X的分布列为：
…（3分）
（2）=
…（6分）
袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球，然后放回．若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束．
（Ⅰ）求摸球3次就停止的事件发生的概率；
（Ⅱ）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，摸球1次，是红球的概率为
摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球，则所求事件的概率为 P=
（Ⅱ） ξ 可能的取值为0，1，2，3．则 P（ξ=0 ）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望为 Eξ=0×
解析
解：（Ⅰ）依题意，摸球1次，是红球的概率为
摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球，则所求事件的概率为 P=
（Ⅱ） ξ 可能的取值为0，1，2，3．则 P（ξ=0 ）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望为 Eξ=0×
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
乙的频数统计图（部分）
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1=
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2=
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3=
故输出的y值为1的概率为
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：
所以所求的数学期望Eξ==1
解析
解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1=
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2=
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3=
故输出的y值为1的概率为
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：
所以所求的数学期望Eξ==1
某航空公司在机场设有一个服务窗口，假设每位乘客办理登记手续所需时间相互独立，且都是整数分钟，对以往乘客办理登机手续所需时间统计结果如下：
从第一位乘客开始办理登机手续时计时．
（1）估计第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续的概率；
（2）至第4分钟末已经办理完登机手续的乘客人数记为X，求X的分布及数学期望．
正确答案
解：（1）第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续，说明了前2个旅客办理登记手续所需时间一个用了2分钟，另一个用了3分钟，
故第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续的概率为0.2×0.3+0.3×0.2=0.12．
（2）至第4分钟末已经办理完登机手续的乘客人数记为X，则由题意可得X=0，1，2．
则由题意可得，X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过4分钟，故P（X=0）=0.1；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间正好为4分钟，或者第一个顾客办理业务的事件为3分钟，故P（X=4）=0.4+0.3=0.7；
X=2对应第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为2分钟，故P（X=2）=0.2×0.2=0.04．
求X的分布为
X的数学期望为 EX=0×0.1+1×0.7+2×0.04=0.78．
解析
解：（1）第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续，说明了前2个旅客办理登记手续所需时间一个用了2分钟，另一个用了3分钟，
故第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续的概率为0.2×0.3+0.3×0.2=0.12．
（2）至第4分钟末已经办理完登机手续的乘客人数记为X，则由题意可得X=0，1，2．
则由题意可得，X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过4分钟，故P（X=0）=0.1；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间正好为4分钟，或者第一个顾客办理业务的事件为3分钟，故P（X=4）=0.4+0.3=0.7；
X=2对应第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为2分钟，故P（X=2）=0.2×0.2=0.04．
求X的分布为
X的数学期望为 EX=0×0.1+1×0.7+2×0.04=0.78．
甲、乙两个进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为
（1）求甲在打的局数最少的情况下获胜的概率；
（2）求比赛停止时已打局数ξ的期望．
正确答案
解：（1）甲在打两局的情况下获胜的概率为P=
（2）ξ的可能取值为2、4、6，则PP（ξ=2）=
P（ξ=4）=
故ξ的分布列为
ξ的期望Eξ=2×+4×+6×=．
解析
解：（1）甲在打两局的情况下获胜的概率为P=
（2）ξ的可能取值为2、4、6，则PP（ξ=2）=
P（ξ=4）=
故ξ的分布列为
ξ的期望Eξ=2×+4×+6×=．
某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：依题意，X所有取值0，1，2．
P（X=0）=
P（X=2）=
X的分布列为：
EX=0×+1×+2×=．
解析
解：依题意，X所有取值0，1，2．
P（X=0）=
P（X=2）=
X的分布列为：
EX=0×+1×+2×=．
已知随机变量X的分布列为
且EX=1.1，则DX=______．
正确答案
解析
解：由题意，
∴m=2，n=
∴DX=
故答案为：
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