- 二项式定理
- 共3480题
一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X．
（1）求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
（2）求X的分布列及X的数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从8个球中摸出3个，共有C83=56种结果，
满足条件的事件是摸出的三个球中既有红球又有白球，共有C51C32+C52C31=45
∴所求的概率是P=
（2）由题意知变量X的可能取值是0，1，2，3，
则P（X=3）=
∴X的分布列是
∴X的期望是EX=．
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从8个球中摸出3个，共有C83=56种结果，
满足条件的事件是摸出的三个球中既有红球又有白球，共有C51C32+C52C31=45
∴所求的概率是P=
（2）由题意知变量X的可能取值是0，1，2，3，
则P（X=3）=
∴X的分布列是
∴X的期望是EX=．
已知盒子中有六张分别标有数字1、2、3、4、5、6的卡片
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的数字相加，求所得数字是奇数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张标有数字为偶数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）计事件A为“任取两张卡片，卡片上的数字相加得到的数字是奇数”，
所以
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．
故ξ的分布列为
…（12分）
解析
解：（Ⅰ）计事件A为“任取两张卡片，卡片上的数字相加得到的数字是奇数”，
所以
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．
故ξ的分布列为
…（12分）
某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过（a+2）吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过（a+2）吨的，超出（a+2）吨的部分每吨6元．
（1）写出每户每月用水量x（吨）与支付费y（元）的函数关系；
（2）该地一家庭记录了去年12个月的月用水量（x∈N*）如下表：
将12个月记录的各用水量的频率视为概率，若取a=4，用Y表示去年的月用水费用，求Y的分布列和数学期望（精确到元）；
（3）今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值（3＜a＜4），小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：
请你求出今年调整的a值．
正确答案
解：（1）由题意可得，
当0≤x≤a时，y=2x；
当a＜x≤a+2时，y=2a+4（x-a）=4x-2a；
当x＞a+2时，y=2a+8+6（x-a-2）=6x-4a-4，
所以y与x的函数表达式为y=
（2）a=4时，y=
Y的可能取值为6，8，12，16，22，Y的分布列为：
所以E（Y）=6×+8×+12×+16×+22×=≈13．
（3）依题意，[（4×4-2a）+（6×6-4a-4）+6]=11，
得54-6a=33．
解得a=3.5．
故今年调整的a值为3.5．
解析
解：（1）由题意可得，
当0≤x≤a时，y=2x；
当a＜x≤a+2时，y=2a+4（x-a）=4x-2a；
当x＞a+2时，y=2a+8+6（x-a-2）=6x-4a-4，
所以y与x的函数表达式为y=
（2）a=4时，y=
Y的可能取值为6，8，12，16，22，Y的分布列为：
所以E（Y）=6×+8×+12×+16×+22×=≈13．
（3）依题意，[（4×4-2a）+（6×6-4a-4）+6]=11，
得54-6a=33．
解得a=3.5．
故今年调整的a值为3.5．
中央电视台《福州月SKIPIF 1＜0中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
正确答案
解：（1）甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，
p（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列如下：
∴Eξ=0×
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则 P（A）=
P（B）=
甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（
∴甲、乙两人至少一个合格的概率为P=1-P（
解析
解：（1）甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，
p（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列如下：
∴Eξ=0×
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则 P（A）=
P（B）=
甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（
∴甲、乙两人至少一个合格的概率为P=1-P（
为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：
①锻炼时间不超过1小时，免费；
②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；
③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．
则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=1-0.4-0.5=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=1-0.5-0.3=0.2．
由题意可知：Ai与Bi相互独立，
设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则 M=A1B1+A2B2+A3B3，
∴P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．
（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.4×0.5=0.2，
P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，
P（ξ=4）=P（A2）P（B2）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02．
Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．
解析
解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．
则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=1-0.4-0.5=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=1-0.5-0.3=0.2．
由题意可知：Ai与Bi相互独立，
设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则 M=A1B1+A2B2+A3B3，
∴P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．
（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.4×0.5=0.2，
P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，
P（ξ=4）=P（A2）P（B2）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02．
Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．
有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．从中挑出4杯称为一次试验，如果能将甲种酒全部挑出来，算作试验成功一次．某人随机地去挑，求：
（Ⅰ）试验一次就成功的概率是多少？
（Ⅱ）恰好在第三次试验成功的概率是多少？
（Ⅲ）当试验成功的期望值是2时，需要进行多少次相互独立试验？
正确答案
解：（Ⅰ） 随机试验一次从8杯酒中任意挑出4杯，所有可能的情况共有C84种，
故试验一次就成功的概率是
（Ⅱ）恰好在第三次试验成功，说明前两次实验都没有成功，
故它的概率是
（Ⅲ）假设连续试验n次，试验成功的次数ξ～B（n，
由E（ξ）=np=
∴n=140
即当试验成功的概率是2时，需要进行140次相互独立试验．
解析
解：（Ⅰ） 随机试验一次从8杯酒中任意挑出4杯，所有可能的情况共有C84种，
故试验一次就成功的概率是
（Ⅱ）恰好在第三次试验成功，说明前两次实验都没有成功，
故它的概率是
（Ⅲ）假设连续试验n次，试验成功的次数ξ～B（n，
由E（ξ）=np=
∴n=140
即当试验成功的概率是2时，需要进行140次相互独立试验．
从集合
正确答案
解析
解：由题意知ξ的可能取值是1、2、3，
ξ的分布列是：
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴Eξ=1×
故答案为：
某校从高二年级3个班中选出12名学生参加全国高中数学联赛，学生来源人数如下表：
（1）从这12名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；
（2）若要求从12名学生中选出两名介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）∵从这12名学生中随机选出两名，两人来自同一个班
∴分为三类，都来自高二（1）班、高二（2）班、高二（3）班
∴两人来自同一个班的概率为P=
（2）来自高二（1）班的人数为ξ，可能取值为0，1，2
P（ξ=0）=
分布列为：
∴数学期望Eξ=
解析
解：（1）∵从这12名学生中随机选出两名，两人来自同一个班
∴分为三类，都来自高二（1）班、高二（2）班、高二（3）班
∴两人来自同一个班的概率为P=
（2）来自高二（1）班的人数为ξ，可能取值为0，1，2
P（ξ=0）=
分布列为：
∴数学期望Eξ=
惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：
已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．
（1）求表中x的值；
（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；
（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）
（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．
正确答案
解：（1）∵在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，
∴x=800×0.2=160；
（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；
（3）y+z=800-153-97-160-90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）
∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，
∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为
解析
解：（1）∵在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，
∴x=800×0.2=160；
（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；
（3）y+z=800-153-97-160-90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）
∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，
∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为
有形状、大小都相同的6只球放在A，B两个口袋中，其中A口袋中有1只白球和2只红球，B口袋中有2个白球和1只红球．
（1）从A，B口袋中各一次性摸出两只球，共得四只球，记其中红球的只数为X，求：P（X=1），P（X=2）．
（2）把A，B口袋中的球全放到C口袋中，从C口袋中有放回的摸出3只球，记摸到红球的个数为Y，求Y的概率分布及数学期望E（Y）．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
P（X=1）=
P（X=2）=
（II）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3
P（Y=0）=
P（Y=1）=
P（Y=2）=
P（Y=3）=
∴Y的分布列是
∴EY=
解析
解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
P（X=1）=
P（X=2）=
（II）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3
P（Y=0）=
P（Y=1）=
P（Y=2）=
P（Y=3）=
∴Y的分布列是
∴EY=
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