- 二项式定理
- 共3480题
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的女生人数．
（1）求X的分布列．
（2）求至少有一名男生的概率．
正确答案
解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，
随机变量X表示其中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．
P（X=k）=
∴所以X的分布列为：
（2）由分布列可知至少选1名男生，相当于至多选3名女生，
即P（X≤3）=P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）+P（X=0）=1-P（X=4）=1-=．
解析
解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，
随机变量X表示其中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．
P（X=k）=
∴所以X的分布列为：
（2）由分布列可知至少选1名男生，相当于至多选3名女生，
即P（X≤3）=P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）+P（X=0）=1-P（X=4）=1-=．
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
正确答案
解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）
∴P（A1）=
（2）X的所有可能取值为0，10，50，200
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=
P（X=50）=P（A3）P（B0）=
P（X=10）=P（A2）P（B1）=
P（X=0）=1-
∴X的分布列为
EX==4元
解析
解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）
∴P（A1）=
（2）X的所有可能取值为0，10，50，200
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=
P（X=50）=P（A3）P（B0）=
P（X=10）=P（A2）P（B1）=
P（X=0）=1-
∴X的分布列为
EX==4元
某高校在进行自主招生面试时，共设3道试题，每道试题回答正确给10分、否则都不给分．若某学生对各道试题回答正确的概率均为
正确答案
20
解析
解：由题意，ξ的取值可以是0，10，20，30，则
P（ξ=0）=
∴Eξ=
故答案为20．
现有甲、乙两个靶，其射手向甲靶射击一次，命中的概率为
（1）求该射手恰好命中一次的概率；
（2）求该射手的总得分X的分布列．
正确答案
解：（1）若只命中甲靶，概率为
故该射手恰好命中一次的概率为 
（2）由题意可得该射手的总得分X的值可为：0，1，2，3，4，5，
P（X=0）=
P（X=4）=
故该射手的总得分X的分布列为：
解析
解：（1）若只命中甲靶，概率为
故该射手恰好命中一次的概率为
（2）由题意可得该射手的总得分X的值可为：0，1，2，3，4，5，
P（X=0）=
P（X=4）=
故该射手的总得分X的分布列为：
从4名男生和2名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为______．
正确答案
1
解析
解：ξ的取值有0，1，2，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=1-
故Eξ=0×
故答案为：1．
从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9人，
这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18=180人（4分）
由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），所以m=4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，
频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
P（x=0）=
P（x=0）=
所以X的分布列
…（10分）
EX=…（12分）
解析
后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9人，
这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18=180人（4分）
由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），所以m=4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，
频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
P（x=0）=
P（x=0）=
所以X的分布列
…（10分）
EX=…（12分）
某户外用品专卖店准备在“五一”期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同品牌的冲锋衣，2种不同品牌的登山鞋和3种不同品牌的羽绒服中，随机选出4种不同的商品进行促销（注：同种类但不同品牌的商品也视为不同的商品），该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有三次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
（1）求随机选出的4种商品中，冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的概率；
（2）请写出X的分布列，并求X的数学期望；
（3）该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？
正确答案
解：（1）所有的抽取方法共有
冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的抽取方法为2
故冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的概率为 
（2）随机变量X可能取值为0，m，2m，3m，
P（X=0）=
P（X=2m）=
故X的分布列为：
故X的数学期望EX=0+m×+2m×+3m×=m．
（3）若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金的数学期望要低于提价数，
即＜1500，∴m＜100，即每次中奖奖金要低于100元，才对商场有利．
解析
解：（1）所有的抽取方法共有
冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的抽取方法为2
故冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的概率为
（2）随机变量X可能取值为0，m，2m，3m，
P（X=0）=
P（X=2m）=
故X的分布列为：
故X的数学期望EX=0+m×+2m×+3m×=m．
（3）若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金的数学期望要低于提价数，
即＜1500，∴m＜100，即每次中奖奖金要低于100元，才对商场有利．
A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
（Ⅰ）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
（Ⅱ）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值．（注：D（aX+b）=a2DX）
正确答案
解：（Ⅰ）∵Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2的分布列
可以得到Y1和Y2的分布列分别为
EY1=5×0.8+10×0.2=6，
DY1=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4，
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY2=（2-8）2×0.2+（8-8）2×0.5+（12-8）2×0.3=12．
（Ⅱ）
=
=
=
当
f（x）=3为最小值．
解析
解：（Ⅰ）∵Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2的分布列
可以得到Y1和Y2的分布列分别为
EY1=5×0.8+10×0.2=6，
DY1=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4，
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY2=（2-8）2×0.2+（8-8）2×0.5+（12-8）2×0.3=12．
（Ⅱ）
=
=
=
当
f（x）=3为最小值．
有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X、Y（单位：s），其分布如下：
则两种品牌中质量好的是______．（填甲或乙）
正确答案
甲
解析
解：由题意可得EX=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0，
同理可得EY=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0，
故可得DX=（-1-0）2×0.1+（0-0）2×0.8+（1-0）2×0.1=0.2
DY=（-2-0）2×0.1+（-1-0）2×0.2+（0-0）2×0.4+（1-0）2×0.2+（2-0）2×0.1=1.2
由于DX＜DY，故甲的质量更稳定些，
故答案为：甲
质监部门对一批产品进行质检，已知样品中有合格品7件，次品3件．
（Ⅰ）若对样品进行逐个检测，求连续检测到三件次品的概率；
（Ⅱ）若从样品中一次抽取3件产品进行检测，求检测到次品数X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）合格品7件，次品3件，对样品进行逐个检测，共有基本事件
∴连续检测到三件次品的概率
（Ⅱ）依题意知，X可取0，1，2，3，则
∴P（X=0）=
P（X=2）=
X的分布列为：
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）合格品7件，次品3件，对样品进行逐个检测，共有基本事件
∴连续检测到三件次品的概率
（Ⅱ）依题意知，X可取0，1，2，3，则
∴P（X=0）=
P（X=2）=
X的分布列为：
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
扫码查看完整答案与解析