- 二项式定理
- 共3480题
已知随机变量X的分布列如表，则D（X）=（ ）
正确答案
解析
解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6
所以E（X）=1×0.2+3×0.6=2
所以D（X）=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6
故选C．
随机变量X的分布列为：
则EX=______，DX=______．
正确答案
解析
解：根据分布列所给的数据，得到EX=
DX=
故答案为：
正确答案
1
解析
解：由题意可得随机变量ξ的取值分别为0，1，2．
则当ξ=0时，表示用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（ξ=0）=
ξ=2表示恰有两个区域用红色鲜花”，
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
∴所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以恰有两个区域用红色鲜花的概率P（ξ=2）=
所以P（ξ=1）=1-
E（ξ）=0×
故答案为：1
某竞赛有A1，A2，B三类题目共10道，其中A1，A2类为难度相同的简单题各3道，B类为中档题共4道，参加比赛的选手从这10道题目中随机抽取3道题作答．
（1）求某选手所抽取的3道题中至少有1道B类题的概率；
（2）某选手所抽取的3道题中有X道A1，A2类题，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设“该选手所抽取的3道题中至少有1道B类题”为事件A，（2分）
则
故P（
∴P（A）=1-
（2）X的可能取值为0，1，2，3．（8分）
P（X=0）=
X的分布列为：
X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．（12分）
解析
解：（1）设“该选手所抽取的3道题中至少有1道B类题”为事件A，（2分）
则
故P（
∴P（A）=1-
（2）X的可能取值为0，1，2，3．（8分）
P（X=0）=
X的分布列为：
X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（2015秋•定州市校级月考）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成．
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，
（Ⅰ）求P（ξ=2）；
（Ⅱ）求ξ的概率分布列和它的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，所以P（ξ=2）=
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形．
若ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4．
∴P（ξ=3）=
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=2×+3×+4×=．
解析
解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，所以P（ξ=2）=
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形．
若ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4．
∴P（ξ=3）=
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=2×+3×+4×=．
（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）．
（II）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名，
则其中年龄“低于35岁”的人有12名，
“年龄不低于35岁”的人有8名．
故X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=
故X的分布列为
∴EX===．
解析
解：（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）．
（II）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名，
则其中年龄“低于35岁”的人有12名，
“年龄不低于35岁”的人有8名．
故X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=
故X的分布列为
∴EX===．
正确答案
解析
解：设两直线所夹锐角弧度为α，则有：
解得：α=
故答案为：
有两个质点A、B分别位于直角坐标系点（0，0），（1，1），从某一时刻开始，每隔1秒，质点分别向上下左右任一方向移动一个单位，已知质点A向左右移动的概率都是
（1）求x和y的值；
（2）试问至少经过几秒，A、B能同时到达点C（2，1），并求出在最短时间内同时到达点C的概率．
正确答案
解：（1）由已知得：
又由 4y=1得，
（2）质点A至少需要经过3秒才能到达C点，质点B至少需要1秒才能到达C点，所以至少需要3秒，A，B才能同时到达点C（2，1）
质点A经过3秒到达C（2，1）点的概率为
质点B经过3秒到达C点的概率为
因为A，B相互独立，所以它们同时到达C点的概率为
解析
解：（1）由已知得：
又由 4y=1得，
（2）质点A至少需要经过3秒才能到达C点，质点B至少需要1秒才能到达C点，所以至少需要3秒，A，B才能同时到达点C（2，1）
质点A经过3秒到达C（2，1）点的概率为
质点B经过3秒到达C点的概率为
因为A，B相互独立，所以它们同时到达C点的概率为
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
正确答案
解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=
∴所求的分布列为
数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
解析
解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=
∴所求的分布列为
数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
已知随机变量ξ的分布列如表所示：
若Eξ=0，Dξ=1，则b=______．
正确答案
解析
解：由分布列的性质可得a+b+c+
又可得Eξ=-a+c+
Dξ=（-1-0）2a+（0-0）2b+（1-0）2c+（2-0）2×
化简可得：a+c+
联立②③可解得
故答案为：
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