- 二项式定理
- 共3480题
当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练，某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置了如下计分办法：
据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为
（1）求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率；
（2）记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望．
正确答案
解：（1）甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率：
P=1-（1-
（2）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100，
P（X=0）=
P（X=10）=
P（X=30）=
P（X=40）=
P（X=60）=
P（X=70）=
P（X=90）=
P（X=100）=
∴X的分布列为：
∴E（X）=0×+10×+30×+40×+60×+70×+90×+100×=60.5．
即该同学所得分数的数学期望为60.5．
解析
解：（1）甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率：
P=1-（1-
（2）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100，
P（X=0）=
P（X=10）=
P（X=30）=
P（X=40）=
P（X=60）=
P（X=70）=
P（X=90）=
P（X=100）=
∴X的分布列为：
∴E（X）=0×+10×+30×+40×+60×+70×+90×+100×=60.5．
即该同学所得分数的数学期望为60.5．
（1）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（2）记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求X的分布列及其数学期望．
正确答案
解：（1）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图：
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（2）随机变量X的取值分别为0，1，2．
则当X=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即X=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（X=0）=
由第（1）问得P（X=2）=
所以P（X=1）=1-
从而随机变量X的分布列为
∴E（X）=0×
解析
解：（1）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图：
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（2）随机变量X的取值分别为0，1，2．
则当X=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即X=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（X=0）=
由第（1）问得P（X=2）=
所以P（X=1）=1-
从而随机变量X的分布列为
∴E（X）=0×
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x2+ξ•x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得
（1）若函数f（x）=x2+ξ•x为R上的偶函数，则ξ=0
当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（2）依题意知ξ的取值为0和2由（1）所求可知
P（ξ=0）=0.24
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52
解析
解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得
（1）若函数f（x）=x2+ξ•x为R上的偶函数，则ξ=0
当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（2）依题意知ξ的取值为0和2由（1）所求可知
P（ξ=0）=0.24
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52
（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值．
正确答案
解：（1）由于交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，故交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．（3分）
（2）从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：5+20+25+20+30=100人，
四川籍的有：15+10+5+5+5=40人，（4分）
设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得
即四川籍的应抽取2名．（7分）
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2；（8分）
ξ的分布列为：
（11分）
均值．（12分）
解析
解：（1）由于交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，故交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．（3分）
（2）从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：5+20+25+20+30=100人，
四川籍的有：15+10+5+5+5=40人，（4分）
设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得
即四川籍的应抽取2名．（7分）
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2；（8分）
ξ的分布列为：
（11分）
均值．（12分）
甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜，若甲喊10，乙喊15时，则（ ）
正确答案
解析
解：甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，共有3×3=9种可能，
若甲喊10，甲胜的情况有：甲用手出0，乙用手出10；或甲用手出5，乙用手出5；甲用手出10，乙用手出0；
共3种，甲胜的概率为
若乙喊15时，乙胜的情况有：甲用手出5，乙用手出10；甲用手出10，乙用手出5；
共2种，乙胜的概率为
∴乙＜甲．
故选A．
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；
②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；
③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件，由题意得，P（M1）=
P（M4）=
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4
由于每题答题结果互相独立，因此
P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）
=P（M1M2M3+）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（N1M2N3M4）
=
（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，．
由于每题的答题结构都是相对独立的，所以P（ξ=2）=P（N1N2），
P（ξ=3）=P（M1M2M3）+P（M1N2N3）=
P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-
因此随机变量ξ的分布列为
所以Eξ=2×+3×+4×=．
解析
解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件，由题意得，P（M1）=
P（M4）=
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4
由于每题答题结果互相独立，因此
P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）
=P（M1M2M3+）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（N1M2N3M4）
=
（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，．
由于每题的答题结构都是相对独立的，所以P（ξ=2）=P（N1N2），
P（ξ=3）=P（M1M2M3）+P（M1N2N3）=
P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-
因此随机变量ξ的分布列为
所以Eξ=2×+3×+4×=．
从批量较大的成品中随机抽出5件产品进行质量检验，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这5件产品中的合格品数，则随机变量X的数学期望E（X）=______．
正确答案
4.75
解析
解：由题意可得，随机变量X表示这5件产品中的合格品数，且随机变量X服从二项分布，每次取到合格品的概率为P=（1-0.05）=0.95，
试验次数为n=5，则随机变量X的数学期望E（X）=nP=5×0.95=4.75，
故答案为 4.75．
（2015秋•成都校级月考）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，且规定：每球取到的机会均等，取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（1）若从该袋子中任取1个球，求取出1球所得分数为1的概率；
（2）若从该袋子中任取2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（1）从该袋子中任取1个球，取出1球所得分数为1，即取出一个红球，概率为
（2）由题意得X=2，3，4，5，6，
P（X=2）=
P（X=5）=
故所求ξ的分布列为
∴EX=2×+3×+4×+5×+6×=．
解析
解：（1）从该袋子中任取1个球，取出1球所得分数为1，即取出一个红球，概率为
（2）由题意得X=2，3，4，5，6，
P（X=2）=
P（X=5）=
故所求ξ的分布列为
∴EX=2×+3×+4×+5×+6×=．
我校统计调查小组对市民中工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表
若对月收入在[15，25），[25，35）内的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：ξ的所有可能取值有0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是
∴Eξ=．
解析
解：ξ的所有可能取值有0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是
∴Eξ=．
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
正确答案
解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=
等级系数为5的恰有2件，所以c=
从而a=0.35-0.1-0.15=0.1
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．
（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：
{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：
{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，
又基本事件的总数为：10
故所求的概率P（A）=
解析
解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=
等级系数为5的恰有2件，所以c=
从而a=0.35-0.1-0.15=0.1
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．
（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：
{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：
{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，
又基本事件的总数为：10
故所求的概率P（A）=
扫码查看完整答案与解析