- 二项式定理
- 共3480题
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分， 现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述，
(Ⅰ)写出X的可能值集合；
(Ⅱ)假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
(ⅰ)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；
(ⅱ)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
正确答案
解：(Ⅰ)X的可能值集合为{0，2，4，6，8}，
在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，
因此|1-a1|+|3-a3|与|2-a2|+|4-a4|的奇偶性相同，
从而X=(|1-a1|+|3-a3|)+(|2-a2|+|4-a4|)必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8。
容易举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．
(Ⅱ)可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，
计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到
(Ⅲ)(ⅰ)首先P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)=
由上述结果和独立性假设，得
(ⅱ)由于
某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：
以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．
（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望；
（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？说明理由．
正确答案
（Ⅰ）当x≥270时，y=270×（1-0.4）=162；
当x＜270时，y=（1-0.4）x+（270-x）×0.1-（270-x）×0.4=0.9x-81，
∴y=
（Ⅱ）（1）ξ可取135、144、153、162，
则P（ξ=135）=0.1，P（ξ=144）=0.2，
P（ξ=153）=0.16，P（ξ=162）=0.54．
∴Eξ=135×0.1+144×0.2+153×0.16+162×0.54=154.26．…（9分）
（2）购进报纸280张，当天的利润为y=（0.6×240-40×0.3）×0.1
+（0.6×250-30×0.3）×0.2+（0.6×260-20×0.3）×0.16（0.6×270-10×0.3）
×0.16+280×0.6×0.38=154.68＞154.26，
所以每天购进280张报纸好 …（12分）
已知曲线C1：ρcos（θ+
（1）试判断曲线C1与C2的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C2交于两个不同的点A，B，求
正确答案
（1）由ρcos（θ+
所以x-y=1，
由ρ2=
所以3（x2+y2）-2x2=3，即x2+3y2=3，
由
所以曲线C1与C2的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
△=36k4-4（1+3k2）（3k2-3）＞0，即2k2+1＞0恒成立，
则x1+x2=
|MA|=
=
又k2≥0，所以
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x2+3y2=3得y=±
此时
综合①②得
已知a，b，c∈N*，方程ax2+bx+c=0在区间（-1，0）上有两个不同的实根，求a+b+c的最小值．
正确答案
设x1和x2方程ax2+bx+c=0有两个相异根，由a，b，c∈N*，
两个根都在区间（-1，0）上，
可得函数f（x）=ax2+bx+c在区间（-1，0）上与x轴有两个不同的交点，
故有f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b2-4ac＞0，
且 x1+x2=-
故c的最小值为1，故有 
当a=2时，正整数b不存在；当a=3时，正整数b不存在；
当a=4时，正整数b不存在；当a=5时，存在正整数b=5．
综上可得，c的最小值为1，a的最小值为5，b的最小值为5，
故a+b+c的最小值为1+5+5=11．
已知f（x）=loga
（1）求定义域
（2）求使f（x）＞0时，x的取值范围．
正确答案
（1）由
（2）当a＞1时，由loga
又由（1）知，-1＜x＜1
∴1+x＞1-x，
∴x＞0
故a＞1时所求范围为0＜x＜1，
同理，当0＜a＜1时，所求范围为
-1＜x＜0
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C=
设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξk，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；
（II）当产量q确定时，求期望Eξk，试问产量q取何值时，Eξk取得最大值．
正确答案
（I）根据所给的表格中的数据和题意写出
L1=(164-3q)•q-(
=-
同理可得L2=-
L3=-
（II）由期望定义可知Eξq=0.4L1+0.4L2+0.2L3
=0.4*(-
=-
可知Eξq是产量q的函数，设f(q)=Eξq=-
得f'（q）=-q2+100．令f'（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξq最大时的产量为10．
已知f（x）=（1+mx）2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013（x∈R）
（1）若m=
（2）若离散型随机变量X～B（4，
正确答案
（1）∵m=
∴m=
则：f(x)=(1+x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013，
令x=0得：a0=1，且a1=
（2）∵离散型随机变量X～B(4，
∴m=2，
∴f(x)=(1+2x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013
则两边取导得：4026(1+2x)2012=a1+2a2x+3a3x2+…+2013a2013x2012
令x=-1得：4026（1-2）2012=a1-2a2+3a3-4a4…+2013a2013
即：-a1+2a2-3a3+4a4-…-2013a2013=-4026；
∴数列{bn}的前2013项的和T2013=-4026．
在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中，
（Ⅰ）求成绩在区间[80，90）内的学生人数；
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．
正确答案
（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，
所以成绩在区间[80，90）的频率为1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，
所以，40名学生中成绩在区间[80，90）的学生人数为40×0.1=4（人）．
（Ⅱ）设A表示事件“在成绩大于等于8（0分）的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90，100]内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有4人，
记这四个人分别为a，b，c，d，
成绩在区间[90，100]内的学生有2人，
记这两个人分别为e，f，
则选取学生的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）
基本事件数为15，
事件“至少一人成绩在区间[90，100]之间”的可能结果为：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），
（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），
基本事件数为9，
所以P(A)=
某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
[40，50），[50，60），…[90，100]，其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）求第三小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这次考试的平均分；
（Ⅲ）假设在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．
正确答案
（Ⅰ）第三小组的频率：
1-（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.2…．（2分）
频率分布直方图如图所示：
（Ⅱ）利用组中值估算抽样学生的平均分：
估计这次考试的平均分是72分…．（9分）
（ⅡI）从95，96，97，98，99，100中抽取2个数全部可能的基本结果有：
（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100），
（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）
（97，98），（97，99），（97，100）
（98，99），（98，100）
（99，100）共15个基本结果．…．（11分）
如果这2数恰好是两个学生的成绩，则这2学生在[99，100]段，而[99，100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95，96，97．
则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：（95，96），（95，97），（96，97），．
共有3个基本结果．…．（13分）
所以所求的概率为P（A）=
某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
[40，50），[50，60），…[90，100]，其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）求第三小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这次考试的平均分；
（Ⅲ）假设在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．
正确答案
（Ⅰ）第三小组的频率：
1-（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.2…．（2分）
频率分布直方图如图所示：
（Ⅱ）利用组中值估算抽样学生的平均分：
估计这次考试的平均分是72分…．（9分）
（ⅡI）从95，96，97，98，99，100中抽取2个数全部可能的基本结果有：
（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100），
（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）
（97，98），（97，99），（97，100）
（98，99），（98，100）
（99，100）共15个基本结果．…．（11分）
如果这2数恰好是两个学生的成绩，则这2学生在[99，100]段，而[99，100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95，96，97．
则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：（95，96），（95，97），（96，97），．
共有3个基本结果．…．（13分）
所以所求的概率为P（A）=
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