- 二项式定理
- 共3480题
甲盒中有黑、白两种颜色的球各2个；乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各1个．
（1）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率；
（2）若把两盒中的球混到一起，从中不放回的先后取两球，求取出的两个球是不同颜色的概率．
正确答案
（1）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
当两个盒子都取出的是黑色的概率是
当两个盒子取出的球都是白色的概率是
∴取出的球颜色相同的概率是
∴取出的球颜色不同的概率是1-
（2）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
两次都取得颜色相同的球的概率是
∴取出的两个球是不同颜色的概率是1-
即取出的两个球颜色不同的概率是
某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光．
（1）求甲景点恰有2个A班同学的概率；
（2）求甲景点A班同学数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
（1）甲、乙两景点各有一个同学交换景点后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况
①互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为A1．
P(A1)=
②互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为A2．．
P(A2)=
所以甲景点恰有2个A班的同学的概率P=P(A1)+P(A2)=
（2）甲景点内A班的同学数为ξ，
则P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)=
所以Eξ=1×
小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售．已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元．经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数n及天数如下表：
试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：
（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；
（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量．试求小王增加订购量的概率．
（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，…（1分）
用频率估计概率可知：P（A）=0.2+0.3=0.5．…（2分）
所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5．…（3分）
（Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为ξ，
则ξ～B（5，
记事件B=“小王增加订购量”，
则有P（B）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=
所以小王增加订购量的概率为
（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，
则η的所有可能取值为80，95，110，125，140．…..（9分）
其分布列为：
…（11分）
则Eη=80×0.1+95×0.1+110×0.1+125×0.2+140×0.5=123.5
所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元．…..（13分）
某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．
（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；
（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，
选出3种型号的商品一共C73种选法．
选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C43种，
∴选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为P=1-
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，
∴P（X=0）=
1
2
)0(
1
2
)3=
同理可得
P（X=m）=C31(
1
2
)1(
1
2
)2=
P（X=2m）=
1
2
)2(
1
2
)1=
P（X=3m）=C33(
1
2
)3(
1
2
)0=
∴顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为：
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是
EX=0×
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，
因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．
先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 （m，n），设 X=m+n．
（Ⅰ）求 m=n 的概率；
（Ⅱ）试列举出 X≤6 的所有可能的结果；
（Ⅲ）求 X≤3 或 X＞6 的概率．
正确答案
（Ⅰ）先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共有36种可能结果，
而m=n有6结果，为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），
所以 P（m=n）=
（Ⅱ）X≤6的所有可能的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），
共有15种情况，
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，X≤3的所有可能的结果有3种，为（1，1）、（1，2）、（2，1），
X＞6的所有可能的结果有36-21=15，
P（X≤3或X＞6）=
盒中装有4个大小形状相同的小球，球上分别标有号码0，1，1，2，从盒中有放回地抽取两个小球（每次抽取一个小球）．
（1）求这两个小球号码不相同的概率；
（2）记ξ为这两个小球上号码的乘积，求随机变量ξ的分别列（不要求写出计算过程）及其数学期望Eξ．
正确答案
（I）这两个小球号码不相同的对立事件是这两个小球的号码相同，
这两个小球的号码相同包括三种情况，这三种情况是互斥的，
根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式得到
P=1-
（II）ξ为这两个小球上号码的乘积，ξ的可能取值是0，1，2，4，
∴ξ的分布列是：P（ξ=0）=
∴Eξ=0×
某网络安全中心同时对甲、乙、丙三个网络系统的安全进行监控，以便在发现黑客入侵时及时跟踪锁定．今测得在一段时间内，甲、乙、丙三个网络系统各自遭受到客入侵的概率分别为0.1，0.2，0.15，试计算在这段时间内下列各事件的概率：
（1）三个网络系统都受到黑客入侵的概率．
（2）只有一个网络系统受到黑客入侵的概率．
正确答案
（1）分别记甲、乙、丙三个网络系统在这段时间内受黑客入侵的事件为A、B、C
依题意：A、B、C三个事件相互独立，…．（2分）
∴在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为
P1=P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C）=0.1×0.2×0.15=0.003 （5分）
（2）在这段时间内只有一个网络系统受到黑客入侵为三个事件A
∴只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为P2=P（A
=0.1×（1-0.2）×（1-0.15）+（1-0.1）×0.2×（1-0.15）+（1-0.1）×（1-0.2）×0.15=0.329…．（11分）
答：在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为0.003
只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为0.329…（12分）
因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进出口的方案，每种方案都需要分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别为0.3、0.3、0.4；第二年可以使出口额为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1.2倍、l．0倍、0.8倍的概率分别为0.2、0.3、0.5；第二年可以使出口额为第一年的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立．令ξ1（=1，2）表示方案实施两年后出口额达到危机前的倍数．
（Ⅰ）写出ξ1、ξ2的分布列；
（Ⅱ）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大？
（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，预计利润分别为10万元、15万元、20万元，问实施哪种方案的平均利润更大．
正确答案
（Ⅰ）ξ1的所有取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25，
其分布列为：
…（2分）
ξ2的所有取值为0.8，0.96，1.0，1，2，1.44，其分布列为
…（4分）
（Ⅱ）设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为P1，P2，则P1=0.15+0.15=0.3，P2=0.24+0.08=0.32
∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大．…（6分）
（Ⅲ）方案一、方案二的预计利润为η1、η2，则
…（8分）
…（10分）
∴Eη1=14.75Eη2=14.1
∴实施方案一的平均利润更大．…（12分）
甲盒中有黑、白两种颜色的球各2个；乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各1个．
（1）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率；
（2）若把两盒中的球混到一起，从中不放回的先后取两球，求取出的两个球是不同颜色的概率．
正确答案
（1）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
当两个盒子都取出的是黑色的概率是
当两个盒子取出的球都是白色的概率是
∴取出的球颜色相同的概率是
∴取出的球颜色不同的概率是1-
（2）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
两次都取得颜色相同的球的概率是
∴取出的两个球是不同颜色的概率是1-
即取出的两个球颜色不同的概率是
A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜．
（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否则得0分，求A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．
正确答案
（1）显然A胜与B胜为对立事件，
A胜分为三个基本事件：
①A1：“A、B均取红球”；
②A2：“A、B均取白球”；
③A3：“A、B均取黄球”．
∵P(A1)=
∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
∴P(B)=1-
（2）由（1）知P(A)=
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是P(A)=
∴当x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为
（3）设A的得分为随机变量ξ，
则P(ξ=3)=
P(ξ=2)=
P(ξ=1)=
P(ξ=0)=1-
∴Eξ=3×
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6时，
Eξ取得最大值为
此时x=z=0．
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