- 二项式定理
- 共3480题
把n+1个不同的球投入n个不同的盒子（n∈N*）．
求：（1）无空盒的概率；
（2）恰有一空盒的概率．
正确答案
（1）先从n+1个球中选出两个看成一个元素，
再把n个元素在n个位置排列，这样可以看出满足条件的事件数，
而总的事件数根据分步计数原理可得，
∴P=
（2）先选出一个空盒，
再把球分成两种情况：三个看成一组，两个有两个球的组，
再进行全排列得到满足条件的事件数，
∴P=
高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛．比赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛．已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（1）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（2）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
正确答案
（1）参加单打的队员有A32种方法．参加双打的队员有C21种方法．
所以，高三（1）班出场阵容共有A32•C21=12（种）． …（6分）
（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，
根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，连胜两盘的概率为
小张有一只放有a个红球、b个黄球、c个白球的箱子，且a+b+c=6（a，b，c∈N），小刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜．
（1）用a、b、c表示小张胜的概率；
（2）若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．
正确答案
（1）P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球）
=
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则
P（ξ=3）=
P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一
∴Eξ=3×
=
=
=
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此时a=c=0，b=6时，Eξ最大．
某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．
（I）求两天全部通过检查的概率；
（Ⅱ）若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天，2天分别奖300元、900元．那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？
正确答案
（I）随意抽取4件产品进行检查是随机事件，而第一天有9件正品，
第一天通过检查的概率为P1=
第二天通过检查的概率为P2=
因为第一天、第二天检查是否通过是相互独立的，
所以两天全部通过检查的概率为P3=P1P2=
（II）记所得奖金为ξ元，则ξ的取值为-300，300，900 …（7分）
由题意可得P(ξ=-300)=
P(ξ=300)=
故Eξ=-300×
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（1）求ξ=0对应的事件的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
（1）分别记“客人游览大明湖景点”，“客人游览趵突泉景点”，“客人游览千佛山景点”，“客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4．
由已知A1，A2，A3，A4相互独立，
P（A1）=0.3，P（A2）=0.4，P（A3）=0.5，P（A4）=0.6，
客人游览景点数的可能取值为0，1，2，3，4．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为0，2，4，
故P(ξ=0)=P(
（2）P(ξ=4)=P(A1A2A3A4)+P(
P（ξ=0）=0.38，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=4）=0.5
所以ξ的分布列为：
Eξ=0×0.38+2×0.5+4×0.12=1.48．
袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种？
正确答案
∵取出4个球不低于（5分）只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白．
∴有C44+C43C61+C42C62+C41C63=195种．
某射击运动员射击一次所得的环数与概率的关系如下表所示
现进行两次射击，每次射击互不影响，
（1）求该运动员两次射击中至少有一次命中8环的概率；
（2）求两次射击环数总和ξ不小于17的概率．
正确答案
（1）记该运动员两次射击中至少有一次命中8环为事件A
该运动员两次射击中恰有一次命中8环的概率P1=2×0.4×0.6=0.48；
该运动员两次射击都命中8环的概率P2=0.4×0.4=0.16
∴P（A）=P1+P2=0.64；
（2）由已知得：P（ξ=17）=2×0.4×0.4+2×0.1×0.1=0.34
P（ξ=18）=2×0.4×0.1+0.4×0.4=0.24
P（ξ=19）=2×0.4×0.1=0.08
P（ξ=20）=0.1×0.1=0.01
∴P（ξ≥17）=P（ξ=17）+P（ξ=18）+P（ξ=19）+P（ξ=20）=0.67
某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是
（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？
（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
正确答案
（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是
如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为
∴第二次出现红灯的概率为
（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①出现绿、绿、红的概率为
②出现绿、红、绿的概率为
③出现红、绿、绿的概率为
所求概率为
甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E（ξ）．
正确答案
（1）甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，
分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；
E表示事件“恰有一人通过笔试”
由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
P(E)=P(A1
=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38．
（2）分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，
则P（A）=P（B）=P（C）=0.3
由题意知变量ξ可能的取值是0，1、2、3，
结合变量对应的事件写出分布列，
∴P（ξ=0）=0.73=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）2×0.3=0.441，
P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189，
P（ξ=3）=0.33=0.027．
∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．
某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．
正确答案
（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
且他直到第二次考核才合格的概率为
得（1-p1）（p1+
解得p1=
∵p1≤
即小李第一次参加考核就合格的概率为
（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为
∴P（ξ=1）=
P（ξ=3）=（1-
P（ξ=4）=（1-
∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•
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