- 二项式定理
- 共3480题
甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局比赛甲胜的概率0.6，乙胜的概率为0.4，本场比赛采用三局两胜制．
（1）求甲获胜的概率．
（2）设ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．
正确答案
（1）甲获胜分为两种情况，即甲以2：0获胜或以2：1获胜，
甲以2：0获胜的概率为P1=0.62=0.36
甲以2：1获胜的概P2=C21×0.6×0.4×0.6=0.288
故甲获胜的概率为P=P=0.36+0.288=0.648
（2）由题意知ξ的取值为2，3．
P（ξ=2）=0.62+0.42=0.36+0.16=0.52
P（ξ=3）=C210.62•0.4+C210.42•0.6=0.288+0.192=0.48
∴ξ的分布为
∴E（ξ）=2×0.52+3×0.48=2.48．
做一个物理试验，甲、乙两人一次试验成功的概率分别为0.6、0.8，且每次试验成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲做试验三次，第三次才能成功的概率；
（II） 甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率；
（III） 甲、乙各做试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
正确答案
记“甲第i次试验成功”为事件A1，“乙第i次试验成功”为事件B1．
依题意得P（A1）=0.6，P（B1）=0.8，且A1B1（i=1，2，3）相互独立．
（I）“甲第三次试验才成功”为事件
∴P（
答：甲第三次试验才成功的概率为0.096．…3分
（II）甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功为事件C，
解法一：C=A1
∴P（C）=P(A1•
=P(A1)P(
.
A
1)P(B1)+P(A1)P(B1)
=0.6×0.2+0.4×0.8+0.6×0.8
=0.92．
解法二：P（C）=1-P(
答：甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率为0.92．…7分
（III）设“甲在两次试验中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2），
“乙在两次试验中成功i次”为事件Ni（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件．
∴所求的概率为
=2×0.6×0.4×0.22+0.62×2×0.8×0.2
=0.0192+0.1152
=0.1344．
答：甲、乙每人试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.1344．…12分．
3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求
（Ⅰ）这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率；
（Ⅱ）这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．
正确答案
解法一：（I）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的事件为A
P(A)=
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的概率为
（Ⅱ）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的事件为B
P(B)=
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的概率为
解法二：
（I）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的事件为A
P(A)=(
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的概率为
（Ⅱ）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的事件为B
P(B)=(
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的概率为
甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为______．
正确答案
敌机没有被击中的概率为 （1-0.6）（1-0.5）=0.3，
故敌机被击中的概率为 1-0.3=0.7，
故答案为 0.7．
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
正确答案
（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1-0.5）=0.3，故P=0.6
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1-0.5）（1-0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1-0.2=0.8
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）
所以EX=100×0.2=20
某班级举行一次知识竞赛，活动分为初赛和决赛，现将初赛成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（1）填充频率分布表中的空格（直接写出对应空格序号的答案，不必写过程）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的同学依次回答主持人的4道题，答对2道就终止答题，并获得一等奖；如果前三道题都答错，就不再回答第四题．某同学甲现已进入决赛（初赛80分以上，不含80分），每题答对的概率P的值恰好等于频率分布表中80分以上的频率值．
①求该同学答完3道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题的个数为ξ，求ξ的分布列．
正确答案
（1）由题意，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到①0.16×50=8；②
（2）由（1）得，P=0.28+0.12=0.4，
①该同学恰好答满3道题而获得一等奖，即前2道题中刚好答对1道，第3道也能够答对才获得一等奖，
则有C21×0.4×0.6×0.4=0.192；
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，
∴该同学答题个数为2、3、4，即ξ=2、3、4，
P（ξ=2）=0.42=0.16，
P（ξ=3）=C210.4×0.6×0.4+0.63=0.408，
P（ξ=4）=C310.4×0.62=0.432，
∴ξ的分布列为：
某中学播音室电脑中储存有50首歌曲，其中校园歌曲5首，军旅歌曲5首，民乐10首，流行歌曲15首，民歌15首．每天下午放学时，播音室将自动随机播放其中一首．
（Ⅰ）求一个同学星期一和星期二听到的都是流行歌曲的概率；
（Ⅱ）设这个中学一周5天播放民乐的天数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．
正确答案
（Ⅰ）设这个同学星期一和星期二听到的是流行歌曲分别为事件A、B，他听到的都是流行音乐为事件C，则A与B相互独立，C=AB，
由题意，P(A)=P(B)=
∴P(C)=P(AB)=P(A)•P(B)=
答：这个同学星期一和星期二听到的都是流行歌曲的概率为
（Ⅱ）由题意，学校某一天播放民乐的概率是
∴Eξ=5×
甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差
正确答案
（1）记甲乙分别解出此题的事件记为A和B
设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出为P2
则P（A）=P1=06，P（B）=P2
P（A+B）=1-P（
∴0.6+P2-0.6P2=0.92，则0.4P2=0.32 即P2=0.8
（2）由题意知变量的取值可能是0，1，2，
P（ξ=0）=P（
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）•P（B）=0.6×0.8=0.48
∴ξ的概率分布为：
∴Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4
∴Dξ=（0-1.4）2•0.08+（1-1.4）2•0.44+（2-1.4）2-1.48
=0.1568+0.0704+0.1728=0.4
我校开设甲、乙、丙三门校本选修课程，学生是否选修哪门课互不影响．己知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88．
（1）求学生李华选甲校本课程的概率；
（2）用ξ表示该学生选修的校本课程门数和没有选修的校本课程门数的乘积，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（1）设该学生选修甲、乙、丙三门校本课程的概率分别为x，y，z
则
∴学生李华选甲校本课程的概率为0.4
（2）依题意，ξ的取值为0和2，由（1）知，P（ξ=0）=0.24，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
分布列为：
E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多击中目标1次的概率．
正确答案
（1）因为乙击中目标3次的概率为(
（2）甲恰好比乙多击中目标1次分为：甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率P1=
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