- 二项式定理
- 共3480题
某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．
（I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；
（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
（I）设“学生答对第一题”为事件A，“学生答对第二题”为事件B．
所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为P=P(
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，0.8）．P（ξ=0）=0.23=0.008，P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096，P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384，P（ξ=3）=0.83=0.512．
所以，ξ的分布列为
Eξ=3×0.8=2.4．
经测试，甲、乙两台机器分别运行一个小时出现故障的概率为0.15和0.1，则在生产流水线上同时运行这两台机器，一小时内不出现故障的概率为______．
正确答案
由题意可得甲、乙两台机器分别运行一个小时不出现故障的概率分别为0.85和0.9，
则在生产流水线上同时运行这两台机器，一小时内不出现故障的概率为0.85×0.9=0.765．
故答案为：0.765．
为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
（Ⅰ）企业E中标的概率是多少？
（Ⅱ）在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从这6家企业中选出2家，选法有（A，B），（A，C），（A，D），
（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），
（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共有15种．
其中企业E中标的选法有（A，E），（B，E），（C，E），（D，E），（E，F），共5种，
∴企业E中标的概率为
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是在中标的企业中，
没有来自河南省选法有：（A，B），（A，C），（B，C）共3种．
∴“在中标的企业中，没有来自河南省”概率为
∴“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为1-
（新华网）反兴奋剂的大敌、服药者的宠儿--HGH（人体生长激素），有望在8月的北京奥运会上首次“伏法”．据悉，国际体育界研究近10年仍不见显著成效的HGH检测，日前已取得新的进展，新生产的检测设备有希望在北京奥运会上使用．若组委会计划对参加某项田径比赛的120名运动员的血样进行突击检查，采用如下化验
方法：将所有待检运动员分成若干小组，每组m个人，再把每个人的血样分成两份，化验时将每个小组内的m个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的m个人只需化验这一次就算检验合格；如果结果中含有HGH成分，那么需要对该组进行再次检验，即需要把这m个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这m个人一共需要进行m+1次化验．假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为
（1）求一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
（2）设一个小组的检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
（1）一个小组经过一次检验就合格，则必有此三人的血样中都不含HGH成分
∴所求概率为P=（1-
（2）随机变量ξ的取值可以为1，4
P（ξ=1）=（1-
∴ξ的分布列为
∴Eξ=1×0.729+4×0.271=1.813
甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ______，三人中至少有一人没有达标的概率是 ______．
正确答案
设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C，三个事件相互独立，且则P（A）=0.8，P（B）=0.6，P（C）=0.5，
三人均达标，即ABC同时发生，故其概率为P1=0.8×0.6×0.5=0.24，
三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；
由互为对立事件的概率性质，可得三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76；
故答案为0.24；0.76．
某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的．
（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是
（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是
正确答案
（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，
因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，
∴甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：p=P(AB
（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，
记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，
有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，
P(M)=
∴所求的概率是P=P（M）+P（N）=
∴Eξ=5×
即平均使用台数为
为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是本市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天如图．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．
（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；
（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X，求X的数学期望和方差．
正确答案
（1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知得p=
所以恰好有2天发生雷电天气的概率为P=C32×0.472×（1-0.47）=0.351231≈0.35．
（2）由已知X～B（12，0.47）．
所以，X的数学期望E（X）=12×0.47=5.64．
X的方差D（X）=12×0.47×（1-0.47）=2.9892．
故X的数学期望和方差分布为5.64，2.9892．
在一次人才招聘会上，有A、B、C三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘A、B、C三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2 （允许受聘人员同时被多种技工录用）．
（I）求该技术人员被录用的概率；
（Ⅱ）设X表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积．
i） 求X的分布列和数学期望；
ii）“设函数f(x)=3sin
正确答案
记该人被A、B、C三种技工分别录用的事件为A、B、C，则P（A）=0.8，P（B）=0.5，P（C）=0.2．
（I）该人被录用的概率P=1-P(
（II）设该人被录用的工种数为n，
则X=n（3-n），n=0，1，2，3，∴X=0或2． …（5分）
（i）P（X=0）=P（A•B•C）+P(
P（X=2）=1-P（X=0）=0.84．…（7分）
∴EX=0×0.16+2×0.84=1.68． …（8分）
（ii）当X=0时，f(x)=3sin
当X=2时，f(x)=3sin(
∴P（D）=P（X=2）=0.84． …（12分）
在一次人才招聘会上，有A、B、C三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘A、B、C三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2 （允许受聘人员同时被多种技工录用）．
（I）求该技术人员被录用的概率；
（Ⅱ）设X表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积．
i） 求X的分布列和数学期望；
ii）“设函数f(x)=3sin
正确答案
记该人被A、B、C三种技工分别录用的事件为A、B、C，则P（A）=0.8，P（B）=0.5，P（C）=0.2．
（I）该人被录用的概率P=1-P(
（II）设该人被录用的工种数为n，
则X=n（3-n），n=0，1，2，3，∴X=0或2． …（5分）
（i）P（X=0）=P（A•B•C）+P(
P（X=2）=1-P（X=0）=0.84．…（7分）
∴EX=0×0.16+2×0.84=1.68． …（8分）
（ii）当X=0时，f(x)=3sin
当X=2时，f(x)=3sin(
∴P（D）=P（X=2）=0.84． …（12分）
在某次空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率时0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率时0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率时0.4，求在这个三个回合中：
（1）甲机被击落的概率；
（2）乙机被击落的概率．
正确答案
设A表示“甲机被击落”这一事件，
则A发生只可能在第2回合中发生，而第2回合又只能在第1回合甲失败了才可能进行，
用Ai表示第i回合射击成功（i=1，2，3）．
B表示“乙机被击落”的事件，
则A=
∴（1）P（A）=0.8×0.3=0.24
（2）P（B）=0.2+0.8×0.7×0.4=0.424．
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