- 二项式定理
- 共3480题
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得
所以学生小张选修甲的概率为0.4
（Ⅱ）若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0
当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（Ⅲ）依题意知ξ=0，2
则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52
某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下（单位：cm）
（1）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值．
（2）在身高为140-160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150-160之间的概率．
正确答案
（1）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5
所以中位数的估计值为162.5．
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162，
（2）这20名学生中，身高在140-150之间的有2个，分别为A，B，身高在150-160之间的有6人，
从这8人中任选2个，有
两个身高都在140---150之间的选法有1种选法，
所以至少有一个人在150-160之间的选法有28-1=27，
故至少有一人的身高在150-160之间的概率为
某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：
（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；
（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是
正确答案
（1）从12人中抽取2个的所有选法有
记：“这2人恰好来自同一班级”为事件A，则A包含的结果有
∴P（A）=
（2）由题意可得，每人选择C的概率为1-2×
则ξ～B（3，
∴P（ξ=k）=
∴Eξ=3×
《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A、B、C三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个工作小组抽取5名工作人员来完成．
（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有A组工作人员的概率．
正确答案
（I）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本空量与总体中个体数的比为
所以从A、B、C三个工作组分别抽取的人数为2、2、1 …（6分）
（II）设A1，A2为从A组抽得的2名工作人员，B1，B2为从B组抽得的工作人员，C1为从C组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，
其所有可能的结果是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
共有10种，其中没有A组工作人员的结果有3种，所以所求的概率P=
某中学为了进一步提高教师的教育教学水平和班级管理能力，于2010年初在校长办公室设立了学生意见投诉箱，接收学生的投诉．经过一段时间统计发现，某个班级在一个月内被投诉的次数ξ的概率分布情况如下表：
（Ⅰ）求x的值及投诉次数ξ的数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设在今后一段时间内任意两个月班级被投诉的次数互不影响，求上述班级在2010年12月及2011年元月连续两个月内共被投诉两次的概率．
正确答案
（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列的性质知：0.1+0.3+2x+x=1，
∴x=0.2
∴P（ξ=2）=0.4，P（ξ=3）=0.2，
∴Eξ=0.1×0+0.3×1+0.4×2+0.2×3=1.7
（Ⅱ）设该班2010年12月被投诉的次数为a，2011年元月被投诉的次数为b，且这两个月共被投诉两次的概率为P，
则P=P（a=2，b=0）+P（a=1，b=1）+P（a=0，b=2）=0.4×0.1+0.3×0.3+0.1×0.4=0.17
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
（ I）求第4局甲当裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
正确答案
（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）=
P（X=2）=P（
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=
从而EX=0×
某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．
（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是
正确答案
（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，
则P（A）=1-
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=x）=
P（ξ=2x）=
P（ξ=3x）=
∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×
设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．
口袋中有5个大小相同的小球，其中1个小球标有数字“3”，2个小球标有数字“2”，2个小球标有数字“1”，每次从中任取一个小球，取后不放回，连续抽取两次．
（I）求两次取出的小球所标数字不同的概率；
（II）记两次取出的小球所标数字之和为X，求事件“X≥4”的概率．
正确答案
记2个标有数字“2”得小球分别为2a，2b，2个标有数字“1”得小球分别为1a，1b，
列举可得总的取法有（1a，1b），（1b，1a），（1a，2a），（1a，2b），（1b，2a），
（1b，2b），（1a，3），（1b，3），（2a，1a），（2a，1b），（2b，1a），（2b，1b），
（2a，3），（2b，3），（2a，2b），（2b，2a），（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共20种
（I）两次取出的小球所标数字不同的取法有（1a，2a），（1a，2b），（1b，2a），（1b，2b），
（1a，3），（1b，3），（2a，1a），（2a，1b），（2b，1a），（2b，1b），（2a，3），（2b，3），
（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共16种，
所以两次取出的小球所标数字不同的概率为P1=
（II）两次取出的小球所标数字之和大于等于4的有（1a，3），（1b，3），（2a，3），
（2b，3），（2a，2b），（2b，2a），（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共10种，
所以概率为P2=
已知抛掷一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为
（Ⅰ）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（Ⅱ）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．
正确答案
某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a．
（1）求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；
（2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差．
正确答案
（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1．（1分）
∴100a2+7a=0.3，
∴1 000a2+70a-3=0，a=
∴100a2+3a=0.18，4a=0.12，
∴ξ的分布列为
（8分）
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250（km）
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964； （10分）
（2）由已知η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），
∴Eη=E（3ξ-3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元）
Dη=D（3ξ-3）=32Dξ=8 676．（12分）
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