- 二项式定理
- 共3480题
甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
（Ⅰ）甲、乙选择同一所院校的概率；
（Ⅱ）院校A、B至少有一所被选择的概率．
正确答案
由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为：
（甲A，乙A），（甲A，乙B），（甲A，乙C），（甲A，乙D），
（甲B，乙A），（甲B，乙B），（甲B，乙C），（甲B，乙D），
（甲C，乙A），（甲C，乙B），（甲C，乙C），（甲C，乙D），
（甲D，乙A），（甲D，乙B），（甲D，乙C），（甲D，乙D）．
共16种．
（Ⅰ）设“甲、乙选择同一所院校”为事件E，则事件E包含4个基本事件，
故概率P（E）=
（Ⅱ）设“院校A、B至少有一所被选择”为事件F，则事件F包含12个基本事件，
故概率P（F）=
现有一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是7的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是7的概率是多少？
正确答案
（1）将一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次设第一次得到的点数为x，第二次得到的点数为y，两次抛掷得到的结果可以用（x，y）表示，则连续投掷两次的不同情况如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共有36种不同结果．
（2）其中向上的点数之和为7 的结果有：
（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）共6种
（3）向上的点数之和为7 的概率为P=
答：一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次的不同情况有36种，
其中向上的点数之和为7的结果有6种；向上的点数之和为7的概率为
将背面相同正面分别标有1、2、3、4的四张卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，
（1）从中随机的抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；
（2）先从中随机的抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位数字，再随机的抽取一张卡片，将该卡片正面上的数字作为个位数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
正确答案
（1）所有的选法共有4种，而该卡片正面上的数字是偶数的选法有2种，故该卡片正面上的数字是偶数的概率为
（2）设组成的两位数恰好是4的倍数的事件为A，由题设知，基本事件有：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，其总个数为12个，
组成的两位数恰好是4的倍数的事件A包含的基本事件的个数为3个，由古典概型的概率公式得P（A）=
同时上抛两枚骰子（每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的立方体）
（1）落地后，朝上的两个数字共有多少种可能的结果？并以有序数对（m，n）的形式列举出来；
（2）设事件A={朝上的两个数字相同}，求P（A）；
（3）朝上的两个数字之和共有多少种可能结果，在这些数字之和里最容易出现的数是几？
正确答案
（1）同时上抛两枚骰子，落地后朝上的两个数字共有36种可能的结果．
这36种结果为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．
（2）事件A={朝上的两个数字相同}，则事件A包含6种结果：（1，1），（2，2），（3，3），
（4，4），（5，5），（6，6），
∴P（A）=
（3）如下表所示：朝上的两个数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12等11种结果，
在这些数字之和里最容易出现的数是7．
抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率，
（2）事件“点数之和小于7”的概率，
（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率．
正确答案
（1）易得每个骰子掷一次都有6种情况，那么共有6×6=36种可能，
点数之和为7的有（3，4）；（2，5）；（1，6）；（4，3）；（5，2）；（6，1），共6种，
所以，所求的概率是 
（2）事件“点数之和小于7”的基本事件有：（1，1）；（2，1）；（1，2）；（1，3）；（3，1）；（1，4）；（4，1）；
（1，5）；（5，1）；（2，2）；（2，3）；（3，2）；（2，4）；（4，2）；（3，3），共计15个，
而所有的基本事件共有36个，
故事件“点数之和小于7”的概率为 
（3）事件“点数之和等于或大于11”的基本事件有：（5，6）；（6，5）；（6，6），共计3个，
而所有的基本事件共有36个，
故事件“点数之和等于或大于11”的概率为 
设集合P={b，1}，Q={c，1，2}，P⊆Q，若b∈{2，3，4，5}．c∈{3，4，5}．
（1）求b=c的概率；
（2）求方程x2+bx+c=0有实根的概率．
正确答案
（1）∵P⊆Q，当b=2时，c=3，4，5；
当b＞2时，b=c=3，4，5．基本事件总数为6．
其中，b=c的事件数为3种．
所以b=c的概率为
（2）记“方程有实根”为事件A，
若使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b=c=4，5，共2种．（4分）
∴P(A)=
现有一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是7的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是7的概率是多少？
正确答案
（1）将一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次设第一次得到的点数为x，第二次得到的点数为y，两次抛掷得到的结果可以用（x，y）表示，则连续投掷两次的不同情况如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共有36种不同结果．
（2）其中向上的点数之和为7 的结果有：
（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）共6种
（3）向上的点数之和为7 的概率为P=
答：一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次的不同情况有36种，
其中向上的点数之和为7的结果有6种；向上的点数之和为7的概率为
文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1、W2、W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为
（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（W1，W2，W3））；
（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；
（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．
正确答案
（1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否是A的可能结果8种，
分别为（W1，W2，W3）、(
（2）由（1）可知，有两个A的情况为(
从而该同学参加这次水平测试获得两个A的概率P=
（3）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大85%，
理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下七种情况：
分别为(
概率是P=
方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A的事件概率大85%，
理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件有如下七种情况：
分别为（W1，W2，W3）、(
概率是P=
在从1至100的正整数中任取一个数，则该数能被11或13整除的概率为 ______．
正确答案
从1至100的正整数中任取一个数，共有100种情况
其中能被11整除的数共有9个
能被13整除的数共有7个
其中即能被11且能被13整除的数有0个
故能被11或13整除的数共有7+9=16个
故该数能被11或13整除的概率P=
故答案为：0.16
把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a2，第二次出现的点数为b2（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若记事件A“焦点在x轴上的椭圆的方程为
（Ⅱ）若记事件B“离心率为2的双曲线的方程为
正确答案
（a，b）所有可能的情况共有6×6=36种（如下图）
（4分）
（Ⅰ）事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”，方程
所以P(A)=
（Ⅱ）事件B表示“离心率为2的双曲线”，即e2=
所以
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