二项式定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

正确答案

（1）由题意知ξ个正面向上，3-ξ个背面向上．

ξ的可能取值为0，1，2，3．

根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，

P(ξ=0)=(1-)(1-a)2=(1-a)2，

P(ξ=1)=•(1-a)2+(1-)a(1-a)=(1-a2)，P(ξ=2)=•a(1-a)+(1-)a2=(2a-a2)，

P(ξ=3)=•a2=．

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=．

（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，

P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=，

P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=．

由和0＜a＜1，

得0＜a≤，

即a的取值范围是(0，]．

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题型：简答题

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简答题

某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．

(1)求顾客甲中一等奖的概率；

(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．

正确答案

(1)(2)

(1)设事件A表示该顾客中一等奖，

P(A)＝×＋2××＝，

所以该顾客中一等奖的概率是.

(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，

P(X＝20)＝×＝，

P(X＝15)＝2××＝，

P(X＝10)＝×＋2××＝，

P(X＝5)＝2××＝，

P(X＝0)＝×＝.

所以X的分布列为

数学期望

E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.

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题型：简答题

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简答题

某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．

(1)求顾客甲中一等奖的概率；

(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．

正确答案

(1)(2)

(1)设事件A表示该顾客中一等奖，

P(A)＝×＋2××＝，

所以该顾客中一等奖的概率是.

(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，

P(X＝20)＝×＝，

P(X＝15)＝2××＝，

P(X＝10)＝×＋2××＝，

P(X＝5)＝2××＝，

P(X＝0)＝×＝.

所以X的分布列为

数学期望

E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.

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题型：简答题

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简答题

某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．

(1)求顾客甲中一等奖的概率；

(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．

正确答案

(1)(2)

(1)设事件A表示该顾客中一等奖，

P(A)＝×＋2××＝，

所以该顾客中一等奖的概率是.

(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，

P(X＝20)＝×＝，

P(X＝15)＝2××＝，

P(X＝10)＝×＋2××＝，

P(X＝5)＝2××＝，

P(X＝0)＝×＝.

所以X的分布列为

数学期望

E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.

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题型：简答题

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简答题

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

正确答案

设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，

由已知P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，

（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则P(B)=P(A1A2

.

A

3)=P(A1)P(A2)P(

.

A

3)=××(1-)=．

（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，

则P(C)=P(

.

A

1+A1

.

A

2+A1A2

.

A

3)=P(

.

A

1)+P(A1

.

A

2)+P(A1A2

.

A

3)=+×+××(1-)=．

（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(

.

A

1)=，P(X=2)=P(A1

.

A

2)=×(1-)=，P(X=3)=P(A1A2A3)=×××=，P(X=4)=P(A1A2A3)=××=，

所以，X的分布列为

E(X)=1×+2×+3×+4×=3．

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题型：简答题

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简答题

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

正确答案

设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，

由已知P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，

（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则P(B)=P(A1A2

.

A

3)=P(A1)P(A2)P(

.

A

3)=××(1-)=．

（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，

则P(C)=P(

.

A

1+A1

.

A

2+A1A2

.

A

3)=P(

.

A

1)+P(A1

.

A

2)+P(A1A2

.

A

3)=+×+××(1-)=．

（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(

.

A

1)=，P(X=2)=P(A1

.

A

2)=×(1-)=，P(X=3)=P(A1A2A3)=×××=，P(X=4)=P(A1A2A3)=××=，

所以，X的分布列为

E(X)=1×+2×+3×+4×=3．

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题型：简答题

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简答题

某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．

(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；

(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．

正确答案

（1）；（2）详见解析．

试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B种车有多少种可能，即可求出结果；（2）的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出各种取值的概率，然后再求数学期望.

试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则

所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为． 4分

(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.

则，

．

所以的分布列为

8分

数学期望． 10分

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题型：简答题

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简答题

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

正确答案

（1）由题意知ξ个正面向上，3-ξ个背面向上．

ξ的可能取值为0，1，2，3．

根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，

P(ξ=0)=(1-)(1-a)2=(1-a)2，

P(ξ=1)=•(1-a)2+(1-)a(1-a)=(1-a2)，P(ξ=2)=•a(1-a)+(1-)a2=(2a-a2)，

P(ξ=3)=•a2=．

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=．

（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，

P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=，

P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=．

由和0＜a＜1，

得0＜a≤，

即a的取值范围是(0，]．

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题型：简答题

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简答题

某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．

正确答案

设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，

当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，

但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．

则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．

依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=，

P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=，

则ξ的分布列为

∴所求期望值为Eξ=(1000+800+600)+(500+400+300+0)=675元．

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题型：简答题

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简答题

某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．

正确答案

设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，

当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，

但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．

则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．

依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=，

P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=，

则ξ的分布列为

∴所求期望值为Eξ=(1000+800+600)+(500+400+300+0)=675元．

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