二项式定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，则此队获胜，比赛结束，因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，

问：（1）组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是多少？

（2）用ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求ξ的数学期望？

正确答案

（1）由题意知每场比赛的门票收入构成等差数列{an}，

其中a1=30，d=10，

∴Sn=5n2+25n

令Sn≥180，即5n2+25n≥180，

解得n≥4或n≤-9（舍）

∴n=4或5

若n=4，则需打四场比赛，某队必须第四场胜，且前三场中胜两场，

若n=5，则需打五场比赛，某队必须第五场胜，且前四场中胜两场，

∴P=2(

1

2

)4+2(

1

2

)5=

即组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是．

（2）由题意知ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，可能取值是120、180、250，

P（ξ=120）=，

P（ξ=180）=，

P（ξ=250）=，，

∴Eξ=120×+180×+250×=191.25

1

题型：简答题

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简答题

随机变量服从正态分布，且，则 .

正确答案

0.34

略

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题型：简答题

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简答题

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

正确答案

（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，

记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，

因为P（X=5）=×=，∴P（A）=1-P（X=5）=；

即他们的累计得分x≤3的概率为．

（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，

小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）

都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）

由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），

∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，

从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，

由于E（2X1）＞E（3X2），

∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．

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题型：简答题

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简答题

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

正确答案

（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，

记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，

因为P（X=5）=×=，∴P（A）=1-P（X=5）=；

即他们的累计得分x≤3的概率为．

（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，

小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）

都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）

由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），

∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，

从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，

由于E（2X1）＞E（3X2），

∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题。假设：答对题（），就得到奖金元，且答对题的概率为（），并且两次作答不会相互影响．

（I）当元，，元，时，某人选择先回答题1，设获得奖金为，求的分布列和；

（II）若，，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？

正确答案

(1)分布列：

0

200

300

0．4

0．12

0．48

(2)当时，，，先答题1可能得到的奖金更高；…12分

当时，，，先答题1或题2可能得到的奖金一样多;

当时，，，先答题2可能得到的奖金更多

（I）分布列：

0

200

300

0．4

0．12

0．48

…………………………………………………………3分

…………………………5分

（II）设选择先回答题1，得到的奖金为；选择先回答题2，得到的奖金为

则有

…………………………………8分

根据题意可知：

，

当时，（负号舍去）……………………………10分

∴当时，，，先答题1可能得到的奖金更高；…12分

当时，，，先答题1或题2可能得到的奖金一样多;

当时，，，先答题2可能得到的奖金更多．…14分

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题型：填空题

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填空题

随机变量服从正态分布，且，则 .

正确答案

0.34

略

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题型：简答题

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简答题

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润．

（1）将T表示为x的函数

（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110，求T的数学期望．

正确答案

（1）

（2）0．7

（3）

（1）当时，=，

当时，，

所以．

（2）由（1）知利润T不少于57000元，当且仅当，

由直方图知需求量的频率为0．7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0．7．

（3）由题意可得T的分布列为

所以=．

点评：本小题主要考查统计与概率、频率、平均数、频率分布直方图等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解决问题的能力．

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题型：简答题

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简答题

设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；

(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.

正确答案

（1）ξ的分布列为

（2）3∶2∶1

(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；

当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；

当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；

当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；

当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.

所以ξ的分布列为

(2)由已知得到：η有三种取值即1，2，3，所以η的分布列为

所以，

所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.

（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；

（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到号球的概率；

（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列.

正确答案

（1）

（2），

，

.

所以，随机变量的分布列为:

解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为，则两次取球的编号的一切可能结果有种， ………………2分

其中和为的结果有，共种，

则所求概率为. ………………4分

（Ⅱ）每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率.………6分

所以，次抽取中，恰有次抽到6号球的概率为

. ………………8分

（Ⅲ）随机变量所有可能的取值为. ………………9分

，

. ………………12分

所以，随机变量的分布列为:

…13分

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题型：填空题

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填空题

随机变量ξ的分布列如右表：其中a、b、c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值是

正确答案

略

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