二项式定理_章节学习

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题型：填空题

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填空题

随机变量ξ的概率分布列为P（ξ=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为______．

正确答案

根据分布列中所有的概率和为1，得

+++=1

解得a=

∴P(ξ=n)=

∴P(＜ξ＜)=P（ξ=1）+P（ξ=2）=+=

故答案为

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题型：简答题

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简答题

中央电视台《福州月SKIPIF 1＜0中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．

（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

正确答案

（1）甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，

p（ξ=0）==，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）==．

∴ξ的分布列如下：

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．

（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B

则 P（A）==，

P（B）==，

甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（）=P（）•P（）=（1-）（1-）=×=，

∴甲、乙两人至少一个合格的概率为P=1-P（）=1-=．

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题型：简答题

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简答题

中央电视台《福州月SKIPIF 1＜0中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．

（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

正确答案

（1）甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，

p（ξ=0）==，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）==．

∴ξ的分布列如下：

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．

（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B

则 P（A）==，

P（B）==，

甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（）=P（）•P（）=（1-）（1-）=×=，

∴甲、乙两人至少一个合格的概率为P=1-P（）=1-=．

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题型：简答题

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简答题

设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，且随机变量ξ表示方程ax2+bx+1=0的实根的个数（相等的两根算一个根）．

（1）求方程ax2+bx+1=0无实根的概率；

（2）求随机变量ξ的概率分布列；

（3）求在先后两次出现的点数中有4的条件下，方程ax2+bx+1=0有实根的概率．

正确答案

基本事件总数为：6×6=36

（1）若方程无实根，则△=b2-4a＜0即b2＜4a

若a=1，则b=1，

若a=2，则b=1，2

若a=3，则b=1，2，3

若a=4，则b=1，2，3

若a=5，则b=1，2，3，4

若a=6，则b=1，2，3，4

∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17

因此方程ax2+bx+1=0有实根的概率为…（6分）

（2）由题意知，ξ=0，1，2，

则P(ξ=0)=，P(ξ=1)==，P(ξ=2)=，

故ξ的分布列为

（3）记“先后两次出现的点数中有4”为事件M，

“方程ax2+bx+1=0有实根”为事件N，则

P(M)=，P(MN)=，P(N/M)===…（4分）

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题型：简答题

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简答题

甲、乙两位同学都参加了本次调考，已知甲做5道填空题的正确率均为0.6，设甲做对填空题的题数为ξ，乙做对填空题的题数为η，且P（η=k）=a•25-k（k=1、2、3、4、5）（a为正常数），试分别求出ξ，η的分布列，并用数学期望来分析甲、乙两位同学解答填空题的水平．

正确答案

依题意知，ξ服从二项分布，即ξ～B（5，0.6）．

∴E（ξ）=5×0.6=3．…4′

又由题设可得η的分布列如下表

由分布列的性质得16a+8a+4a+2a+a=1，∴a=．…8′

∴E(η)=1×16a+2×8a+3×4a+4×2a+5×a=57×＜E(ξ)．…10′

∴甲解答填空题的水平高于乙．…12′．

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题型：简答题

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简答题

某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如如图所示．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）．

（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布．

正确答案

（1）记路段MN发生堵车事件为MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为

1-P（••）

=1-P（）P（）P（）

=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]

=1-××=；

同理，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为

1-P（••）=（小于）；

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为

1-P（••）=（大于）．

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．

因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．

（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数X可取值为0，1，2，3．

P（X=0）=P（••）=，

P（X=1）=P（AC••）+P（•CF•）+P（••FB）

=××+××+××=，

P（X=2）=P（AC•CF•）+P（AC•FB）+P（•CF•FB）

=××+××+××=，

P（X=3）=P（AC•CF•FB）=××=．

∴X的概率分布为

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题型：简答题

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简答题

在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、．

（Ⅰ）记先回答问题A获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？

（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000．

（Ⅱ）设先答问题A获得的奖金为ξ元，先答问题B获得的奖金为η元．则有P(ξ=0)=1-=，P(ξ=1000)=×(1-)=，P(ξ=3000)=×=，

∴Eξ=0×+1000×+3000×==750．

同理：P(η=0)=，P(η=2000)=，P(η=3000)=，

∴Eη=0×+2000×+3000×==625．

故知先答问题A，所获得的奖金期望较多．

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题型：简答题

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简答题

.袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数的概率分布.

正确答案

所求概率分布为：

得分的取值为-3，-2，-1，0，1，2，3.

=-3时表示取得3个球均为红球，

∴P（=-3）==；

=-2时表示取得2个红球和1个黑球，

∴P（=-2）==；

=-1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，

∴P（=-1）=；

=0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，

∴P（=0）=；

=1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，

∴P（=1）=；

=2时表示取得2个白球和1个黑球，

∴P（=2）=；

=3时表示取得3个白球，∴P（=3）=；

∴所求概率分布为：

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题型：简答题

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简答题

袋中有4个红球，2个白球，一次摸出一球然后放回，共摸三次.记Y为摸出的三个球中白球的个数,求Y的分布列.

正确答案

（k=0,1,2,3）。

解：三次摸球中每次摸出白球的概率为，由题意，Y～B(3,),

即（k=0,1,2,3）。

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题型：简答题

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简答题

甲、乙两位同学都参加了本次调考，已知甲做5道填空题的正确率均为0.6，设甲做对填空题的题数为ξ，乙做对填空题的题数为η，且P（η=k）=a•25-k（k=1、2、3、4、5）（a为正常数），试分别求出ξ，η的分布列，并用数学期望来分析甲、乙两位同学解答填空题的水平．

正确答案

依题意知，ξ服从二项分布，即ξ～B（5，0.6）．

∴E（ξ）=5×0.6=3．…4′

又由题设可得η的分布列如下表

由分布列的性质得16a+8a+4a+2a+a=1，∴a=．…8′

∴E(η)=1×16a+2×8a+3×4a+4×2a+5×a=57×＜E(ξ)．…10′

∴甲解答填空题的水平高于乙．…12′．

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