二项式定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：

（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；

（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望．

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）利用分步原理可得概率为；（Ⅱ）根据题意得出的可能取值为1，2，3，4，列出分布列计算期望.

试题解析：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率 3分

（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，4， . 4分

，，

，． . 8分

的概率分布列为

10分

E=1×＋2×＋3×＋4×=． 12分

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题型：填空题

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填空题

已知随机变量～，且，，则 ▲　， ▲　　．

正确答案

∵随机变量～，∴，，解得p=

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题型：简答题

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简答题

有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，

0.8，0.9.

（1）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；

（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；

（3）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为，求随机变量的概率分布.

正确答案

（1）0.432（2）0.444（3）随机变量的概率分布为

（1）甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为P=×0.62×0.4=0.432.

（2）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，则P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9.

则四名运动员每两人之间进行一场比赛，甲恰好胜两场的概率为

P（AB+AC+BC）

=P（A）P（B）［1-P（C）］+P（A）［1-P（B）］P（C）+［1-P（A）］P（B）P（C）

=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9

=0.444.

（3）随机变量的可能取值为0，1，2，3. 的

P（=0）=0.4×0.2×0.1=0.008;

P(=1)=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116;

由（2）得P（=2）=0.444；

P（=3）=0.6×0.8×0.9=0.432.

∴随机变量的概率分布为

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题型：简答题

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简答题

德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．

正确答案

(1);(2) 见解析.

试题分析：(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率.(2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.

试题解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事件相互独立，

.

(2), ,,

因为～

所以

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动。

（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；

（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望。

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

在一次语文测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题得ξ分.

(1)求该同学得分不少于6分的概率；

(2)求ξ的分布列及数学期望.

正确答案

（1）P＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝12)＝　；（2）Eξ＝0×＋3×＋6×＋12×＝3．

解：(1)ξ的可能取值为0,3,6,12．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

P(ξ＝12)＝＝，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

P(ξ＝6)＝＝＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

该同学得分不少于6分的概率为

P＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝12)＝　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝0)＝1－－－＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

∴ξ得分布列为

ξ

0

3

6

12

P

数学期望为Eξ＝0×＋3×＋6×＋12×＝3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

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题型：填空题

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填空题

已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若X在（0，2）内取值的概率为0.3，则X在（4，+∞）内的概率为 ______．

正确答案

由随机变量X～N（2，σ2）知，X的均值为2，其图象关于x=2对称，

故X在（4，+∞）内的概率为P=（1-0.3×2）=0.2

故答案为：0.2

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题型：简答题

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简答题

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.

(I)求该射手恰好命中两次的概率;

(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;

正确答案

(I).

(II)的分布列是

.

试题分析：(I)此类题的一般解法是，标记事件，计算概率，注意到记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.可得,,

进一步利用

计算即得.

(II)注意到的所有可能取值为0,1,2,3,4.利用独立事件同时发生的概率计算公式可得.细心计算是关键.

试题解析：(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.

由题意知,,

所以

. 6分

(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.

,

.

,

, 11分

故的分布列是

12分

所以. 14分

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题型：简答题

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简答题

在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植四棵风景树，受本地地理环境的影响，两棵树的成活的概率均为，另外两棵树为进口树种，其成活概率都为，设表示最终成活的树的数量.

（1）若出现有且只有一颗成活的概率与都成活的概率相等，求的值；

（2）求的分布列（用表示）；

（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求的取值范围.

正确答案

（1）；

（2）

（3）.

本试题主要考查了概率以及分布列，以及概率的最值问题的综合运用。

解：（1）由题意，得，……………………………2分

（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4. ………………………3分

…………4分

…………………5分

…………6分

…………………………………7分

………………………………………………………8分

得的分布列为： ……………………………………………………9分

（3）由0<, < ……………………………10分

∴-0 ……11分

-0……………………12分

由上述不等式解得a的取值范围是.……………………………13分

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题型：简答题

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简答题

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.

正确答案

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为,…………1分

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， …………………………3分

则 . ……………………………6分

(Ⅱ) 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分

由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，

所以，. …………………………9分

………………11分

. ………………………………13分

略

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