- 二项式定理
- 共3480题
（本小题满分12分）
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)、第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数；
(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5的事件概率．
正确答案
（1）144人
（2）略
（3）
解：(1)由频率分布直方图知，
前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，
后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，
这所学校高三男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144人．…4分
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.
频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．
(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A，B.
若x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．
若x，y∈[190,195]时，有AB共一种情况．
若x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况．
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．
事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P(|x－y|≤5)＝
（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A；“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；
（Ⅲ）设
正确答案
（Ⅰ）
试题分析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
则
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
（Ⅱ）解法一：由题可知
解法二：由于事件A、B相互独立，故
（Ⅲ）设
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得
所以
∴
∴ 
点评：本题主要考查等可能事件的概率与条件概率，以及离散型随机变量的分布列、期望与方差等知识点，属于中档题型，高考命题的趋向．分布列的求解应注意以下几点：（1）弄清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。
有一批数量很大的环形灯管，其次品率为20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查中止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过5次．求抽查次数ξ的分布列．
正确答案
ξ的概率分布列为：
抽查次数ξ取1～5的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率为0.2，取出正品的概率为0.8，前(k－1)次取出正品而第k次(k＝1，2，3，4)取出次品的概率：
P(ξ＝k)＝0.8k－1×0.2，k＝1，2，3，4.
P(ξ＝5)＝0.84×0.2＋0.85＝0.4096.
所以ξ的概率分布列为：
数学试题中有12道单项选择题，每题有4个选项。某人对每道题都随机选其
中一个答案（每个选项被选出的可能性相同），求答对多少题的概率最大？并求出此种情况下概
率的大小.（可保留运算式子）
正确答案
答对3道题的概率最大，此概率为：
试题分析：解：设X为答对题的个数，则X～B(12,
设P(X=k)最大，（k=1、2、……、12）
则
所以答对3道题的概率最大，此概率为：
点评：主要是考查了独立重复试验的概率的求解，属于基础题。
（本小题满分13分）
设a、b、c分别是先后掷一枚质地均匀的正方体骰子三次得到的点数.
（1）求使函数
（2）设随机变量
正确答案
（1）
试题分析：（1）
若
∴
∴
又a，b，c
∴a、b、c成等差数列……………………………………………………………………（4分）
按公差分类，a、b、c成等差数列共有
故函数
（2）若
若
同理：
∴
点评：函数
（本小题满分8分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，
（1）请列出X的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率
正确答案
（1）
（2）
解：依题意得，随机变量X服从超几何分布，所以
所以
所以X的分布列为：
（2）由分布列可知至少选3名男生即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=
设随机变量
正确答案
略
甲盒中有1个黑球1个白球;乙盒中有1个黑球2个红球．这些
（Ⅰ）从两个盒子中各取1个球,求取出的两个球颜色不同的概率.
（Ⅱ）若把两盒中所有的球混合后放入丙盒中.从丙盒中一次取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率
正确答案
解（Ⅰ）
略
现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.
（Ⅰ）求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；
（Ⅲ）用
正确答案
（1）8:27
(2)1:9
(3)
试题分析：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为
（Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率
（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件
故
∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为
(III)
所以
点评：主要是考查了二项分布的运用，以及离散型随机变量的分布列的求解，属于中档题。
一个口袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是
（1）求恰好摸5次停止的概率；
（2）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．
正确答案
（1）
0
1
2
3
（1）
（2）由题意
0
1
2
3
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