- 二项式定理
- 共3480题
某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），（单位：元）．
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列．
正确答案
（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此，P（X=0）=
P（X=2）=
故随机变量X的分布列为
某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），（单位：元）．
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列．
正确答案
（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此，P（X=0）=
P（X=2）=
故随机变量X的分布列为
某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期（×月×日）将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果，已知下表内的信息：
（注：毛利润=销售商支付给果园的费用-运费）
（Ⅰ）记汽车走公路1时果园获得的毛利润为ξ（单位：万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？
正确答案
（1）汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ=20-1.6=18.4万元；
堵车时果园获得的毛利润ξ=20-1.6-1=17.4万元；
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润ξ的分布列为
∴Eξ=18.4×
（2）设汽车走公路2时果园获得的毛利润为η，
不堵车时果园获得的毛利润η=20-0.8+1=20.2万元；
堵车时果园获得的毛利润η=20-0.8-2=17.2万元；
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润η的分布列为
∴Eη=20.2×
∵Eξ＜Eη
∴选择公路2运送水果有可能让果园获得的毛利润更多
某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期（×月×日）将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果，已知下表内的信息：
（注：毛利润=销售商支付给果园的费用-运费）
（Ⅰ）记汽车走公路1时果园获得的毛利润为ξ（单位：万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？
正确答案
（1）汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ=20-1.6=18.4万元；
堵车时果园获得的毛利润ξ=20-1.6-1=17.4万元；
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润ξ的分布列为
∴Eξ=18.4×
（2）设汽车走公路2时果园获得的毛利润为η，
不堵车时果园获得的毛利润η=20-0.8+1=20.2万元；
堵车时果园获得的毛利润η=20-0.8-2=17.2万元；
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润η的分布列为
∴Eη=20.2×
∵Eξ＜Eη
∴选择公路2运送水果有可能让果园获得的毛利润更多
某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为，.问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。
正确答案
先答哪题获奖金的期望一样大
设先答A、B所得奖金分别为ξ和η，则P(ξ＝0)＝1－＝，P(ξ＝a)＝(1－)＝，P(ξ＝3a)＝×＝，∴Eξ＝a.P(η＝0)＝1－＝，P(ξ＝2a)＝(1－)＝，P(ξ＝3a)＝×＝，∴Eη＝a.
由此知，先答哪题获奖金的期望一样大.
某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数
1
2
3
……
12
P
……
设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
正确答案
电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.
设
设电器商每月的收益为
某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数
1
2
3
……
12
P
……
设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
正确答案
电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.
设
设电器商每月的收益为
某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数
1
2
3
……
12
P
……
设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
正确答案
电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.
设
设电器商每月的收益为
某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数
1
2
3
……
12
P
……
设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
正确答案
电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.
设
设电器商每月的收益为
（ 12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为
（1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数
正确答案
解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且
（1）至少有1人面试合格的概率是
（2）
∵
＝
＝
=
=
∴
略
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