二项式定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示．

（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；

（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；

（3）若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X为获奖户数，求X的数学期望E（X）与方差D（X）．

正确答案

（1）∵从左边开始，前两个小矩形的面积之和为0.005×20+0.015×20=0.1+0.3=0.4＜0.5，

设中位数为150+x，则0.02×x+0.4=0.5，解得x=5，∴中位数为155．

平均数为120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；

（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，

得一类居民8户，二类居民2户，从中任取2户，共有=45种；

两户来自不同类型的有=16种，

∴两户居民用电资费属于不同类型的概率为；

（3）由题意知，该小区的第一类居民占80%，

则每个月从该小区居民中随机抽取1户，取到的是第一类居民的概率为0.8，

连续10个月抽取，设X为获奖户数，则X服从二项分布，

故X的数学期望E（X）=nP=10×0.8=8，

方差D（X）=nP（1-P）=10×0.8×0.2=1.6．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件的二倍。

（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，示至少有一件一等品的概率；

（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；

（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求EX。

正确答案

（1）0.976（2）0.7（3）2.8

（1）设甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件A、B、C

则

从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为

4分

（2）将三台机床加工的零件混合到一起，

从中任意的抽取一件检验，它是一等品的概率为

8分

（3）

，所以 12分

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题型：填空题

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填空题

一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_________________.

正确答案

取值为0,1,2,3，且有，，，.

.

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题型：简答题

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简答题

某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.

（1）试求和；

（2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.

正确答案

（1），

（2）

（1）根据排列和组合知识求出和；（2）先根据前几个特殊项猜想出结果，然后利用数学归纳法的步骤去证明，本题在证明n=k+1时，用到了分析法

解：(1)，.

(2)因为，所以，，，由此猜想：当时，都有，即.

下面用数学归纳法证明（）.

1) 当时，该不等式显然成立.

2) 假设当时，不等式成立，即，则当时，，要证当时不等式成立.只要证：，只要证：.

令，因为，所以在上单调递减，

从而，而，所以成立.

则当时，不等式也成立.

综合1)、2）得原不等式对任意的均成立.

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题型：简答题

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简答题

一组数据为，，10，11，9，这组数据平均数为10，则方差的最小值为 .

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

盒中装有编号为1，2，3，4，5，6的卡片各两张，每张卡片被取出的概率相同．

（1）从中任取2张，求两张卡片上数字之和为10的概率．

（2）从中任取2张，它们的号码分别为x、y，设ξ=|x-y|求ξ的期望．

正确答案

（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件数是C122=66种结果，

满足条件的事件是两张卡片上数字之和为10，共有5种结果，

∴要求的概率是；

（2）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5

当ξ是0时，总事件数是66，满足条件的事件是取到两个相等的数字，共有6种结果，

P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=

P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=

∴Eξ=；

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题型：简答题

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简答题

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）

(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.

正确答案

（1）0.03；（2）24.6；（3）分布列详见解析，.

试题分析：本题主要考查频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，利用频率分布直方图中长方形的高=频率/组距，而所有频率之和为1，来计算a的值；第二问，根据样本数据，估计总体的平均值的计算公式为：频率分布直方图中，每一个长方形的中点×高×组距，得到的数据之和即为平均值；第三问，利用频率分布直方图先得到内的频率，即“特优等级”的概率值，通过分析题意可知随机变量服从二项分布，利用计算出每一种情况的概率，再利用计算出数学期望.

试题解析：(1) 由题意，得， 1分

解得. 2分

（2）个样本中空气质量指数的平均值为

3分

由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分

（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，

且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分

的取值为， 6分

，，

，. 10分

∴的分布列为：

11分

∴. 12分

（或者）

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题型：简答题

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简答题

盒中装有编号为1，2，3，4，5，6的卡片各两张，每张卡片被取出的概率相同．

（1）从中任取2张，求两张卡片上数字之和为10的概率．

（2）从中任取2张，它们的号码分别为x、y，设ξ=|x-y|求ξ的期望．

正确答案

（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件数是C122=66种结果，

满足条件的事件是两张卡片上数字之和为10，共有5种结果，

∴要求的概率是；

（2）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5

当ξ是0时，总事件数是66，满足条件的事件是取到两个相等的数字，共有6种结果，

P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=

P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=

∴Eξ=；

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题型：简答题

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简答题

为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．

正确答案

随机猜对问题A的概率P1=，随机猜对问题B的概率P2=．

回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

（1）先回答问题A，再回答问题B．

参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n，则

P(ξ=0)=1-P1=，P(ξ=m)=P1(1-P2)=×=，

P(ξ=m+n)=P1P2=×=．

Eξ=m×+（m+n）×=+

（2）先回答问题B，再回答问题A，

参与者获奖金额η可取0，n，m+n，则

P(η=0)=1-P2=，P(ξ=n)=P2(1-P1)=×=，

P(η=m+n)=P2P1=×=．

Eη=0×+n×+(m+n)×=+．

Eξ-Eη=（+）-（+）=

于是，当＞时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；

当=时，Eξ=Eη，两种顺序获奖的期望值相等；

当＜时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．

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题型：简答题

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简答题

为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．

正确答案

随机猜对问题A的概率P1=，随机猜对问题B的概率P2=．

回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

（1）先回答问题A，再回答问题B．

参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n，则

P(ξ=0)=1-P1=，P(ξ=m)=P1(1-P2)=×=，

P(ξ=m+n)=P1P2=×=．

Eξ=m×+（m+n）×=+

（2）先回答问题B，再回答问题A，

参与者获奖金额η可取0，n，m+n，则

P(η=0)=1-P2=，P(ξ=n)=P2(1-P1)=×=，

P(η=m+n)=P2P1=×=．

Eη=0×+n×+(m+n)×=+．

Eξ-Eη=（+）-（+）=

于是，当＞时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；

当=时，Eξ=Eη，两种顺序获奖的期望值相等；

当＜时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．

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