二项式定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中三人答对的概率分别为,且各人回答得正确与否相互之间没有影响.

(1)若用表示甲队的总得分,求随机变量分布列和数学期望；

(2)用表示事件“甲、乙两队总得分之和为”,用表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”,求.

正确答案

解:(1)

所以的分布列为

故的数学期望

(2).

本试题主要是考查了分布列的求解和数学期望值的运算，统统是利用了独立事件的概率的乘法公式，和n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式表示得到结论。

（1）利用已知条件，分析得到,的可能取值为，然后利用独立重复试验中概率的公式求解得到各个概率值。进而得到分布列

（2）由于事件A,B相互独立，则利用各种情况，分析，结合乘法公式得到结论。

解:(1)由题意知,的可能取值为,则有

,,

,.

所以的分布列为

故的数学期望

(2)用表示事件“甲队得分”,用表示事件“乙队得分”.因,且由于与为互斥事件,故.

∴.

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题型：简答题

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简答题

某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．

（1）求的分布列及数学期望；

（2）记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

正确答案

（1）所以的分布列为

0

2

4

P

0.3456

0.4992

0．1552

（2）

1）分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件,由已知相互独立，且

客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1,0.所以的可能取值为0，2,4

所以的分布列为

0

2

4

P

0.3456

0.4992

0．1552

（2）因为所以函数在区间上单调递增．

要使在上单调递增，当且仅当即

从而

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题型：填空题

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填空题

某运动员投篮时命中率p=0.6.

（1）求一次投篮命中次数的期望与方差；

（2）求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差.

正确答案

（1）E（）=0×0.4+1×0.6=0.6,

V（）=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.

（2）E（）=5×0.6=3,V（）=5×0.6×0.4=1.2

（1）投篮一次，命中次数的概率分布为：

则E（）=0×0.4+1×0.6=0.6,

V（）=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.

(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数服从二项分布,

即～B(5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有

E（）=5×0.6=3,V（）=5×0.6×0.4=1.2.

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题型：简答题

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简答题

（理科）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒．如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需1元；假定每个成活的坑可收获100粒试验种子．

（1）用ξ表示补种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；

（2）用η表示收获试验种子粒数，分别求出两种方案的η的数学期望；

（3）由此你能推断出怎样的结论？

正确答案

（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p1=（0.5）3=，由题意可得：ξ1～B（40，），

∴所求的数学期望为Eξ1=40×=5元；

方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为p2=（0.5）2=，由题意可得：ξ2～B（60，），

∴所求的数学期望为Eξ2=60×=15元；

（2）方案一：一个坑内种子成活的概率为q1=+×=，

∴所求的数学期望为Eη1=100×40×=3987.5粒；

方案二：一个坑内种子成活的概率为q2=+×=，

∴所求的数学期望为Eη2=100×60×=5625粒．

（3）方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大．

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题型：简答题

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简答题

（本小题12分）为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．

求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为，求的分布列和数学期望．

正确答案

（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为；（2）分布列：

随机变量的数学期望为

（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件，则

（2）先确定随机变量的可能取值为.然后求出每个值对应的概率。列出分布列根据期望公式求解即可。

解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件，则

所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为………………………………4分

（2）随机变量的可能取值为.

，，，

……………………10分

随机变量的分布列为：

因此，

即随机变量的数学期望为. …………………………12分

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题型：简答题

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简答题

（本小题共12分）

甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

正确答案

（Ⅰ）．

（Ⅱ）

．

(I)解本题的关键是利用当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，建立关于p的方程

(II)依题意知的所有可能取值为2，4，6．

，，，余下问题易解.

解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，

故，解得或．

又，所以． …………………6分

（Ⅱ）依题意知的所有可能取值为2，4，6．

，，，

所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望．………………12分

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题型：简答题

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简答题

（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。

（Ⅰ）若袋中共有10个球，

（i）求白球的个数；

（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

正确答案

（Ⅰ）（i）5

（ii）

（Ⅱ）证明见解析。

本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分。

（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，

设袋中白球的个数为，则，

得到，故白球有5个。

（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是

的数学期望

。

（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，

所以，，故。

记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则

。

所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于。

故袋中红球个数最少。

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题型：简答题

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简答题

如图 A B两点有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息依次为2、3、4、3、2，现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为ζ。

（Ⅰ）写出信息总量ζ的分布布列；

（Ⅱ）求信息总量ζ的数学期望。

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）8.4

（1）由已知，的取值为7，8，9，10.…………………………2分

………………8分

的概率分布列为

………………9分

（2）………………12分

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题型：简答题

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简答题

某运动员投篮时命中率p=0.6.

（1）求一次投篮命中次数的期望与方差；

（2）求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差.

正确答案

（1）E（）=0×0.4+1×0.6=0.6,

V（）=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.

（2）E（）=5×0.6=3,V（）=5×0.6×0.4=1.2

（1）投篮一次，命中次数的概率分布为：

则E（）=0×0.4+1×0.6=0.6,

V（）=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.

(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数服从二项分布,

即～B(5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有

E（）=5×0.6=3,V（）=5×0.6×0.4=1.2.

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题型：简答题

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简答题

为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖．

（Ⅰ）小丽购买了该食品3袋，求她获奖的概率；

（Ⅱ）小明购买了该食品5袋，求他获奖的概率；

（Ⅲ）某幼儿园有324名小朋友，每名小朋友都买了该食品5袋．记获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

正确答案

（Ⅰ）由于每张卡片，放入食品袋有3种方法，故3袋食品中放入的卡片所有的可能的情况有33种，

而可能获奖的情况有种．

所以小丽获奖的概率是P==．

（Ⅱ）由于每张卡片，放入食品袋有3种方法，故5袋食品中放入的卡片所有的可能的情况有35种，

而不能获奖的情况有•25-3种．

所以小明获奖的概率是P=1-=．

（Ⅲ）由于324名学生，每名小朋友都买了该食品5袋的概率均为，所以ξ～B(324，)，所以Eξ=324×=200（人）．

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