- 二项式定理
- 共3480题
为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．
求：
（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4．
随机变量X的分布列为：
因此，
即随机变量的数学期望为．…（12分）
解析
解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4．
随机变量X的分布列为：
因此，
即随机变量的数学期望为．…（12分）
袋中的若干个黑球，3个白球，2个红球（大小相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为
（1）袋中黑球的个数；
（2）ξ的概率分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
根据得0分的概率为
设袋中黑球的个数为n，则
化简得n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1（舍去），
∴有4个黑球
（2）由题意知ξ表示得分，ξ的可能取值是0，1，2，3，4
根据等可能事件的概率公式得到
∴ξ的分布列为
∴
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
根据得0分的概率为
设袋中黑球的个数为n，则
化简得n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1（舍去），
∴有4个黑球
（2）由题意知ξ表示得分，ξ的可能取值是0，1，2，3，4
根据等可能事件的概率公式得到
∴ξ的分布列为
∴
（2015秋•方城县校级月考）某巧克力公司为了推广其品牌，邀请顾客玩从盒中抽取巧克力的游戏．现有A、B两个盒子，其中A盒中装有3个牛奶巧克力和2个酒心巧克力，B盒中装有2个牛奶巧克力和2个酒心巧克力，其中两种巧克力的大小和形状相同，某顾客从A、B两盒中各任取1个巧克力，抽到牛奶巧克力得2分，抽到酒心巧克力得3分，游戏结束后可根据分数获得相应奖品．
（1）求该顾客取出的巧克力中至多有1个数酒心巧克力的概率；
（2）记X为该顾客的最后得分，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）记“至多有1个数酒心巧克力”为事件M，则
P（M）=1-
（2）X的可能取值为4，5，6，则
P（X=4）=
故X的分布列为：
所以X的数学期望E（X）=4×+5×+6×=．
解析
解：（1）记“至多有1个数酒心巧克力”为事件M，则
P（M）=1-
（2）X的可能取值为4，5，6，则
P（X=4）=
故X的分布列为：
所以X的数学期望E（X）=4×+5×+6×=．
一名箭手进行射箭训练，箭手连续射2支箭，已知射手每只箭射中10环的概率是
（1）求该射手两次射中的总环数为18环的概率；
（2）设该箭手两次射中的总环数为ζ，求ζ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知箭手两次射击是相互独立的，
根据相互独立事件同时发生的概率得到该射手两次射中的总环数为18环的概率为
（2）ξ的可能取值为20、18、16、19、17
P（ξ=20）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=20×+18×+16×+19×+17×=．
解析
解：（1）由题意知箭手两次射击是相互独立的，
根据相互独立事件同时发生的概率得到该射手两次射中的总环数为18环的概率为
（2）ξ的可能取值为20、18、16、19、17
P（ξ=20）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=20×+18×+16×+19×+17×=．
某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）；
（I）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后天两天学习过的单词的概率；
（II）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为
正确答案
解：
（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题可得：
P（A）=
（II）由题意随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，则有：
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以随机变量的分布列为：
故随机变量的期望Eξ=
解析
解：
（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题可得：
P（A）=
（II）由题意随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，则有：
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以随机变量的分布列为：
故随机变量的期望Eξ=
（Ⅰ）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
（Ⅱ）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（Ⅲ）记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
正确答案
布置花圃的不同方法的种数4×3×3=36种．
（II）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图：
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（III）由题意可得：随机变量ξ的取值分别为0，1，2．
则当ξ=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（ξ=0）=
由第（2）可得P（ξ=2）=
所以P（ξ=1）=1-
从而随机变量X的分布列为
∴E（ξ）=0×+1×+2×=1．
解析
布置花圃的不同方法的种数4×3×3=36种．
（II）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图：
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（III）由题意可得：随机变量ξ的取值分别为0，1，2．
则当ξ=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（ξ=0）=
由第（2）可得P（ξ=2）=
所以P（ξ=1）=1-
从而随机变量X的分布列为
∴E（ξ）=0×+1×+2×=1．
黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．
（Ⅰ）在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；
（Ⅱ）在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）记事件A为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，
则该事件分为两个事件A1和A2，
A1为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”；
A2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．
∴在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率
（Ⅱ）由于8名学生中有6名学生有学生证，
∴ξ的可能取值为1，2，3，
则
∴ξ的分布列为
∴
解析
解：（Ⅰ）记事件A为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，
则该事件分为两个事件A1和A2，
A1为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”；
A2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．
∴在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率
（Ⅱ）由于8名学生中有6名学生有学生证，
∴ξ的可能取值为1，2，3，
则
∴ξ的分布列为
∴
南昌某中学为了重视国学的基础教育，开设了A，B，C，D，E共5门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生：
（1）求恰有2门选修课没有被这4名学生选择的概率；
（2）分别求出这4名学生选择A选修课的人数为1和3的概率．
正确答案
解：（1）每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有5种选择，总共有54，
恰有2门选修课这4个学生都没有选择的概率，即4名学生选修了5门中的2门，
先从5门选修课中选出2门，作为没选修的课程，将4名学生分为2组，一组2人，另两组分别1人，最后考虑其顺序，
恰有2门选修课没有被这4名学生选择的概率，则有C52C42A33，
则恰有2门选修课这4名学生都没选择的概率：P=
（2）设A选修课被这4名学生选择的人数为ξ，
P（ξ=1）=
解析
解：（1）每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有5种选择，总共有54，
恰有2门选修课这4个学生都没有选择的概率，即4名学生选修了5门中的2门，
先从5门选修课中选出2门，作为没选修的课程，将4名学生分为2组，一组2人，另两组分别1人，最后考虑其顺序，
恰有2门选修课没有被这4名学生选择的概率，则有C52C42A33，
则恰有2门选修课这4名学生都没选择的概率：P=
（2）设A选修课被这4名学生选择的人数为ξ，
P（ξ=1）=
某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：
根据上表：
（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；
（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为时间A，则
P（A）=
（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为：
故ξ的期望为Eξ=0×．
解析
解：（1）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为时间A，则
P（A）=
（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为：
故ξ的期望为Eξ=0×．
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同概率．
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
正确答案
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3，由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，
Ai，Bj，Ck（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，
且P（Ai）=
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率：
P=3×2×P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6×
（2）设3名工人中选择项目属于民生工程的人数为η，由已知：η～（3，
且ξ=3-η．
∴P（ξ=0）=P（η=3）=
P（ξ=1）=P（η=2）=
P（ξ=2）=P（η=1）=
P（ξ=3）=P（η=0）=
∴ξ的分布列是：
解析
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3，由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，
Ai，Bj，Ck（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，
且P（Ai）=
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率：
P=3×2×P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6×
（2）设3名工人中选择项目属于民生工程的人数为η，由已知：η～（3，
且ξ=3-η．
∴P（ξ=0）=P（η=3）=
P（ξ=1）=P（η=2）=
P（ξ=2）=P（η=1）=
P（ξ=3）=P（η=0）=
∴ξ的分布列是：
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