- 二项式定理
- 共3480题
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，
则共有基本事件：1+
则A事件包含基本事件的个数为
则 P（A）=
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．
所以，随机变量X的分布列为：
．
解析
（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，
则共有基本事件：1+
则A事件包含基本事件的个数为
则 P（A）=
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．
所以，随机变量X的分布列为：
．
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是
（1）求甲至多击中2次，且乙至少击中2次的概率；
（2）若规定每击中一次得3分，未击中得-1，求乙所得分数ξ的概率和数学期望．
正确答案
解：（1）甲至多击中2次的概率
乙至少击中2次的概率
∴甲至多击中2次且乙至少击中2次的概率为
（2）由题意ξ=-3，1，5，9，则
∴ξ的分布列为
∴…（12分）
解析
解：（1）甲至多击中2次的概率
乙至少击中2次的概率
∴甲至多击中2次且乙至少击中2次的概率为
（2）由题意ξ=-3，1，5，9，则
∴ξ的分布列为
∴…（12分）
已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E（X）=0，D（X）=1，则a-b=（ ）
A
B
C1
D0
正确答案
解析
解：由题知a+b+c=
-a+c+
（-1-0）2×a+（1-0）2×c+（2-0）2×
∴a=
则a-b=
故选A．
一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是______．
正确答案
解析
解：由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴Eξ=
故答案为：
夏季养殖鲍鱼对养殖海域的水温要求很高，假设鲍鱼养殖海域的水温分正常、偏高、超高（水温严重超出养殖鲍鱼正常范围）三种情况．据国家海洋环境中心预报，该鲍鱼养殖海域某天水温超高概率为0.01，水温偏高的概率为0.25，若该天遇到海水水温超高则养殖户将损失60万元，若遇到海水水温偏高养殖户将损失10万元，养殖户有以下三种方案
方案1：转移鲍鱼，能够避免损失，但须投入费用3.8万元
方案2：引进人工控制养殖鲍鱼区域内的海水水温设备，须投入2万元，但此设备只能使水温偏高回到正常水温（若遇到水温超高，该设备就不起作用）
方案3：不采取任何措施试比较哪种方案较好，并说明理由．
正确答案
解：用x1，x2，x3，分别表示方案1，2，3的损失．
对方案1来说，损失3.8万元，x1=3.8万元；
对方案2来说，水温超高需花费2+60=62万元，当水温没有超高时，损失2万元，
所以，该方案中可能的花费为：62×0.01+2×（1-0.01）=2.6（万元），x2=2.6万元．
对于方案3来说，损失费的数学期望为：Eξ=60×0.01+10×0.25=3.1（万元），x3=3.1万元，
比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．
解析
解：用x1，x2，x3，分别表示方案1，2，3的损失．
对方案1来说，损失3.8万元，x1=3.8万元；
对方案2来说，水温超高需花费2+60=62万元，当水温没有超高时，损失2万元，
所以，该方案中可能的花费为：62×0.01+2×（1-0.01）=2.6（万元），x2=2.6万元．
对于方案3来说，损失费的数学期望为：Eξ=60×0.01+10×0.25=3.1（万元），x3=3.1万元，
比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．
某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为
（2）若射击2次均击中目标，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A发生的概率．
正确答案
解：（1）依题意知ξ～
数学期望E（ξ）=+=（或E（ξ）=np=）．
（2）设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
依题意，知P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，
A=，
所求的概率为P（A）=+P（A2B2）
=+P（A2）P（B2）
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28．
答：事件A的概率为0.28．
另解：记“第一部分至少击中一次”为事件C，“第二部分被击中二次”为事件D，
则P（C）==0.19，P（D）=0.3×0.3=0.09．
P（A）=P（C）+P（D）=0.28．
答：事件A发生的概率为0.28．
解析
解：（1）依题意知ξ～
数学期望E（ξ）=+=（或E（ξ）=np=）．
（2）设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
依题意，知P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，
A=，
所求的概率为P（A）=+P（A2B2）
=+P（A2）P（B2）
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28．
答：事件A的概率为0.28．
另解：记“第一部分至少击中一次”为事件C，“第二部分被击中二次”为事件D，
则P（C）==0.19，P（D）=0.3×0.3=0.09．
P（A）=P（C）+P（D）=0.28．
答：事件A发生的概率为0.28．
若X～B（n，p），且EX=6，DX=3，则P（X=1）的值为（ ）
正确答案
解析
解：EX=np=6，DX=np（1-p）=3，
∴p=
则P（X=1）=C121•
故选C．
某中学为了进一步提高教师的教育教学水平和班级管理能力，于2010年初在校长办公室设立了学生意见投诉箱，接收学生的投诉．经过一段时间统计发现，某个班级在一个月内被投诉的次数ξ的概率分布情况如下表：
（Ⅰ）求x的值及投诉次数ξ的数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设在今后一段时间内任意两个月班级被投诉的次数互不影响，求上述班级在2010年12月及2011年元月连续两个月内共被投诉两次的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列的性质知：0.1+0.3+2x+x=1，
∴x=0.2
∴P（ξ=2）=0.4，P（ξ=3）=0.2，
∴Eξ=0.1×0+0.3×1+0.4×2+0.2×3=1.7
（Ⅱ）设该班2010年12月被投诉的次数为a，2011年元月被投诉的次数为b，且这两个月共被投诉两次的概率为P，
则P=P（a=2，b=0）+P（a=1，b=1）+P（a=0，b=2）=0.4×0.1+0.3×0.3+0.1×0.4=0.17
解析
解：（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列的性质知：0.1+0.3+2x+x=1，
∴x=0.2
∴P（ξ=2）=0.4，P（ξ=3）=0.2，
∴Eξ=0.1×0+0.3×1+0.4×2+0.2×3=1.7
（Ⅱ）设该班2010年12月被投诉的次数为a，2011年元月被投诉的次数为b，且这两个月共被投诉两次的概率为P，
则P=P（a=2，b=0）+P（a=1，b=1）+P（a=0，b=2）=0.4×0.1+0.3×0.3+0.1×0.4=0.17
甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是
（Ⅰ）在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；
（Ⅱ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）设甲至少有1次命中目标的事件为A，则P（
即甲至少有1次命中目标的概率为 P（A）=1-P（
（II）设甲射击次数为X，由题设知X的可能取值为1，2，3，
且P（X=1）=
∴X的分布列为
从而E（X）=×1+×2+×3=．…（10分）
解析
解：（I）设甲至少有1次命中目标的事件为A，则P（
即甲至少有1次命中目标的概率为 P（A）=1-P（
（II）设甲射击次数为X，由题设知X的可能取值为1，2，3，
且P（X=1）=
∴X的分布列为
从而E（X）=×1+×2+×3=．…（10分）
甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为ξ，则Eξ=______．
正确答案
解析
解：由题设知ξ的可能求值为3，4，5，6，
∴Eξ=
故答案为：
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